Generated by All in One SEO v4.9.3, this is an llms.txt file, used by LLMs to index the site. # MathAbyss 難解な数学を,簡潔に・厳密に・丁寧に. ## Sitemaps - [XML Sitemap](https://mathabyss.com/sitemap.xml): Contains all public & indexable URLs for this website. ## 投稿 - [【徹底分析】令和7年度 大学入学共通テスト 数学Ⅱ,数学B,数学C](https://mathabyss.com/kyotutest2025_math2/) - この記事では,2025年度 大学入学共通テストの「数学Ⅱ,数学B,数学C」をはじめとする数学②の分析記事です. - [【PDF有】2025年度 国立10大学 数学 入試問題](https://mathabyss.com/2jisiken_2025/) - このページでは,以下の大学の2025年度の2次試験の数学の入試問題(前期日程)を掲載しています. 東京大学(文 - [知られざる「平均」の世界【YouTube】](https://mathabyss.com/yt2/) - Merry Christmath! この記事では,YouTubeにて公開した上の動画の資料を公開しています. - [第36回(2026年) JMO 予選第7問](https://mathabyss.com/36-jmo-pre-7/) - この記事では,2025年11月16日(日)に実施された,「第36回 日本数学オリンピック 予選」の第7問の解答 - [第36回(2026年) JMO 予選第5問](https://mathabyss.com/36-jmo-pre-5/) - この記事では,2025年11月16日(日)に実施された,「第36回 日本数学オリンピック 予選」の第5問の解答 - [第36回(2026年) JMO 予選第4問](https://mathabyss.com/36-jmo-pre-4/) - この記事では,2025年11月16日(日)に実施された,「第36回 日本数学オリンピック 予選」の第4問の解答 - [第36回(2026年) JMO 予選第3問](https://mathabyss.com/36-jmo-pre-3/) - この記事では,2025年11月16日(日)に実施された,「第36回 日本数学オリンピック 予選」の第3問の解答 - [第36回(2026年) JMO 予選第2問](https://mathabyss.com/36-jmo-pre-2/) - この記事では,2025年11月16日(日)に実施された,「第36回 日本数学オリンピック 予選」の第2問の解答 - [第36回(2026年) JMO 予選第1問](https://mathabyss.com/36-jmo-pre-1/) - この記事では,2025年11月16日(日)に実施された,「第36回 日本数学オリンピック 予選」の第1問の解答 - [第36回(2026年) JMO 予選第6問](https://mathabyss.com/36-jmo-pre-6/) - この記事では,2025年11月16日(日)に実施された,「第36回 日本数学オリンピック 予選」の第6問の解答 - [群の例](https://mathabyss.com/group-eg/) - 群論では,様々な群の例が登場する.ここでは,重要度の高い群を列挙してまとめた. 加法・乗法の群 $\mathb - [1次独立・1次従属](https://mathabyss.com/linear_independent-dependent/) - 1次独立・1次従属 $\mathbb{R}^3$において,2つのベクトル$\bm{a},\bm{b}\in \ - [拡大実数の点列の極限](https://mathabyss.com/limit_of_sequence-extended_real_number/) - 実数列の極限を拡大実数上に拡張すると,極限の性質はより強力なものになる. 拡大実数の点列と極限の定義 $\ov - [複素平面](https://mathabyss.com/complex_plane/) - 複素数を視覚的・直感的に理解するために欠かせない複素平面を導入する. 複素平面 写像$f:\mathbb{R} - [複素数](https://mathabyss.com/complex_number/) - 複素数の定義 まず,複素数の定義について述べる.実数から複素数を構成する詳しい方法(集合論的構成)や,代数的性 - [正規部分群](https://mathabyss.com/normal_subgroup/) - 剰余類は群構造を持つとは限らない.剰余類に群構造を入れる手段に一つとして,正規部分群を導入する. 正規部分群 - [行列指数関数](https://mathabyss.com/matrix_exponential/) - 指数関数 指数関数について簡単に復習しておく. $a\in \mathbb{R}$と$n\in \mathbb - [行列](https://mathabyss.com/matrix/) - 線形代数学では行列と呼ばれる数学的対象を取り扱う.行列を考えることで,$n$次元ユークリッド空間の線形変換を機 - [ベクトル空間の基底と次元](https://mathabyss.com/vector_space-basis-dimension/) - ベクトル空間を特徴づける概念として,基底と次元を定義する. ベクトル空間の生成 いくつかのベクトルが与えられた - [基底の延長定理・基底の存在定理](https://mathabyss.com/basis_extension_theorem-basis_existence_of_basis/) - 零空間でない任意のベクトル空間に対して,基底が存在することを示す. 基底の延長定理 部分空間の基底にいくつかベ - [ベクトル空間の基底変換](https://mathabyss.com/change_of_basis/) - ベクトル空間には様々な基底の取り方がある.任意のベクトルは基底の1次結合の形で表現できるが,基底を変えるとどの - [商ベクトル空間](https://mathabyss.com/quotient_vector_space/) - ベクトル空間とその部分空間が与えられたとき,部分空間を「潰す」ことにより,それまで異なるものとして扱っていたベ - [線形写像](https://mathabyss.com/linear_mapping/) - 複数のベクトル空間が与えられたとき,それらの関係性を記述することは非常に重要である.この記事では,そのために必 - [微分形式](https://mathabyss.com/differential_form/) - ベクトル解析学で登場する種々の積分定理は,微分形式を用いることで非常に簡潔にまとめることができる. 以下,$n - [群の元の位数](https://mathabyss.com/order-element/) - 群の元に対しても,位数という用語を定義する.これを用いることで,$\mathbb{Z}$の部分群が$n\mat - [自己同型](https://mathabyss.com/automorphism/) - 群の同型の概念は,2つの群の構造を同一視するものである.特に,自身の群への同型写像を考えることは重要である. - [剰余類](https://mathabyss.com/residue_class/) - 群の構造を調べるには,なるべく位数が小さい部分群に注目するとよい.剰余類を導入するとラグランジュの定理が得られ - [剰余群](https://mathabyss.com/quotient_group/) - 正規部分群による剰余類は,群構造が入る.すなわち,正規部分群が見つかると,新たな部分群を構成することができる. - [表現行列](https://mathabyss.com/representation_matrix/) - ベクトル空間の基底の取り方に行列を対応付けることができたように,線形写像にも行列を対応付けることができる. 表 - [ユークリッド空間](https://mathabyss.com/euclidean_space/) - $n$個の$\mathbb{R}$の直積$\mathbb{R}^n$は,$n$次元空間と同一視することができる - [ユークリッド空間の開集合・閉集合](https://mathabyss.com/open_set-closed_set-euclidean_space/) - ユークリッド空間における開集合と閉集合を厳密に定義し,それらの性質を解説する. 開集合 開集合の基盤となる集合 - [ユークリッド空間の点列](https://mathabyss.com/sequence-euclidean_space/) - 実数に対して実数列を考えたのと同様に,ユークリッド空間に対して点列を考えることができる.ユークリッド空間の開集 - [準同型と同型](https://mathabyss.com/homomorphic-isomorphic/) - 群の構造を捉えるために,群の間の写像を考えよう. 群の準同型と同型 群は演算が備わった集合である.そこで,集合 - [生成系](https://mathabyss.com/generating_set_of_a_group/) - 群の元の構造を捉えるために,群の生成という概念を導入する. 生成系 定義1 $G$を群,$S\subset G - [部分群](https://mathabyss.com/subgroup/) - 部分群 定義1 $G$を群,$H\subset G$とする.$H$が$G$上の演算に関して群であるとき,$H$ - [群](https://mathabyss.com/group/) - 集合とその演算の構造についてとらえるために非常に重要で抽象的な概念である群について徹底的に解説する. http - [有界単調数列の収束定理](https://mathabyss.com/monotone_convergence_theorem-sequence/) - 数列の有界性と単調性は収束性と結びついている.この記事では,その関係を数学的に証明する. 有界単調数列の収束定 - [ベクトル空間の和と直和](https://mathabyss.com/vector_space-sum-direct_sum/) - ベクトル空間の和 定義1 $n\in \mathbb{N}$,$V$を$\mathbb{C}$上のベクトル空間 - [正方行列のジョルダン標準形](https://mathabyss.com/jordan_normal_form/) - 当サイトでは,ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています.初学者の方には,以下の順番で記事を読んでいただくこ - [冪零行列のジョルダン標準形](https://mathabyss.com/nilpotent-jordan_normal_form/) - 当サイトでは,ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています.初学者の方には,以下の順番で記事を読んでいただくこ - [3次正方行列のジョルダン標準形](https://mathabyss.com/3-jordan_normal_form/) - 当サイトでは,ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています.初学者の方には,以下の順番で記事を読んでいただくこ - [2次正方行列のジョルダン標準形](https://mathabyss.com/2-jordan_normal_form/) - 当サイトでは,ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています.初学者の方には,以下の順番で記事を読んでいただくこ - [拡大実数](https://mathabyss.com/extended_real_number/) - 実数の集合に正の無限大と負の無限大を加えた集合を考えよう. 拡大実数の定義 実数には,最大値と最小値が存在しな - [関数の凹凸](https://mathabyss.com/convex-concave/) - 2階の導関数を調べることにより,関数のグラフの概形を掴もう. 凸関数と凹関数 関数の凹凸は,次のように厳密に定 - [高次導関数](https://mathabyss.com/high_order_derivative/) - 実関数の微分を繰り返し行うことを考えよう. 高次導関数の定義 まず,$\mathbb{R}$の開区間上で定義さ - [関数の単調性](https://mathabyss.com/monotone_of_function/) - 数列の単調性と同様に,関数の単調性を考えることができる. 関数の単調性 $A$を$\mathbb{R}$の空で - [ロルの定理・平均値の定理](https://mathabyss.com/rolles_theorem-mean_value_theorem/) - 微分積分学の様々な定理を証明する際に用いることになる平均値の定理について解説する. ロルの定理 有界閉区間上の - [関数の極値](https://mathabyss.com/extremum/) - 関数の増減を調べることは微分積分学の目的の1つである.関数の極値と微分の関係性について述べる. 関数の極値 高 - [実関数の微分の性質](https://mathabyss.com/rule_of_differentiation_of_real_function/) - 関数の和・差・積・商及び合成と微分の整合性を取り上げる. 関数の和・定数倍と微分 まず,微分の線形性について考 - [実関数の微分](https://mathabyss.com/differentiation_of_real_function/) - $\mathbb{R}$を定義域とし,$\mathbb{R}$を値域とする関数の微分を定義する. 微分の定義 - [位相](https://mathabyss.com/topology/) - 距離関数を用いて開集合を定義するのではなく,距離関数が定義されていない一般の集合に対しても開集合を定義するため - [位相空間論とは](https://mathabyss.com/general_topology/) - 位相空間論が発展した歴史とともに,位相空間や距離空間を定義する動機や直感的イメージをまとめた. $\mathb - [有理数の稠密性](https://mathabyss.com/dense_of_rational_number/) - アルキメデスの原理を出発点とし,整数や有理数と実数の関係について述べる. 床関数と天井関数 まずは,整数と実数 - [コーシー列](https://mathabyss.com/cauchy_sequence/) - 極限値を求めることなく数列の収束性を判定する方法として,コーシー列の概念を導入する. コーシー列 定義1 $\ - [ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理](https://mathabyss.com/bolzano-weierstrass_theorem/) - 実数を特徴づける部分列の最も重要な性質であるボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の主張と証明を解説する. ボ - [部分列](https://mathabyss.com/subsequence/) - 数列の項を順序を変えずに取り出すことによって得られる数列の性質について考える. 部分列 定義1 $\{ a_n - [数列の単調性](https://mathabyss.com/monotone_of_sequence/) - 数列の項の特徴として,その大小関係を考えることは非常に有効である.ここでは数列の単調性についての定義をまとめた - [体](https://mathabyss.com/field/) - 体の定義 体では,環と同様に2つの演算を考える.この記事では,集合$S$上の二項演算$\phi ,\psi$を - [2009年度 大分大医数学 第1問](https://mathabyss.com/2009-oita-medical-1/) - 問題 \[ I_n=\int _0^{\sqrt{3}}\frac{1}{1+x^n}dx\quad (n=1 - [2025年度 阪大文系数学 第1問](https://mathabyss.com/2025-osaka-l-1/) - 問題 平面上の三角形$\rm OAB$を考える.$\rm \angle AOB$は鋭角,$\mathrm{OA - [【高校数学】ベクトル](https://mathabyss.com/hm-ベクトル/) - ベクトル まず,ベクトルの定義を理解しよう. 有向線分$\rm AB$→点$\rm A$から点$\rm B$に - [2025年度 北大文系数学 第4問](https://mathabyss.com/2025-hokkaido-l-4/) - 問題 関数$f(x)$は,すべての実数$x$および全ての整数$n$について$f(nx)={ f(x)} ^n$ - [【高校数学】整式の展開](https://mathabyss.com/hm-整式の展開/) - 整式の展開 まず,整式の展開の定義を理解しよう. 整式の展開→整式の積で表された式を単項式の和の形で表すこと - [【高校数学】整式の加法と減法](https://mathabyss.com/hm-整式の加法と減法/) - 整式の計算法則 まず,整式の計算法則を理解しよう. $P,Q,R$を整式とする.次の5つの性質が成り立つことを - [【高校数学】多項式](https://mathabyss.com/hm-多項式/) - 多項式 まず,多項式の定義を理解しよう. 多項式→単項式の和で表される式 多項式の項→多項式を構成する単項式 - [命題](https://mathabyss.com/proposition/) - すべての数学の土台となる「命題」の論理についてまとめた. 命題 論理学における命題は,次のように説明される. - [【高校数学】単項式](https://mathabyss.com/hm-単項式/) - 定数と変数 まず,定数と変数の違いを整理しよう. 定数→(このあとの議論で)値が変化しない,特定の値を持つ文字 - [環](https://mathabyss.com/ring/) - 重要な代数的構造の1つである環は,集合とその2つの演算について考える. 環の定義 環 環では2つの演算を考える - [対称群](https://mathabyss.com/symmetric_group/) - 代数的構造である群は,対称性を捉えるのに非常に便利な概念である.ここでは,置換とその演算を考え,それによって構 - [直積](https://mathabyss.com/direct_product/) - 複数の集合の元によって構成される直積について解説する. 集合の直積 2つの集合の直積 定義1 $A,B$を集合 - [差集合・補集合](https://mathabyss.com/set_difference-complement/) - 集合の演算である差集合と,その派生である補集合についてまとめた. 差集合 定義1 $A,B$を集合とする.$A - [数列の極限と不等式](https://mathabyss.com/limit_of_sequence-inequality/) - 直接計算することが困難な数列の極限は,数列の不等式評価によってその極限を求めることができるようになる場合がある - [2025年度 京大理学部特色数学 第1問](https://mathabyss.com/2025-kyoto-ao-s-1/) - 問題 $n$を自然数とする.実数$x$に対し,$x$を越えない最大の整数を$[x]$とし,$f(x)=x-[x - [数列の極限と四則演算](https://mathabyss.com/limit_of_sequence-four_arithmetic_operations/) - 高校数学では曖昧にされてきた数列の極限の性質は,$\varepsilon -N$論法によって証明を与えることが - [自然数・整数・有理数](https://mathabyss.com/nzq_analysis/) - 微分積分学の土台となる数列の極限を理解するために,まずは数の集合について整理しておく.厳密な理論体系は集合論や - [上限と下限の性質](https://mathabyss.com/property_of_supremum-infimum/) - 順序集合には上限と下限が定義され,特に実数の重要な性質である連続性の理解に欠かせない.ここでは,上限と下限の性 - [実数の連続性](https://mathabyss.com/continuity_of_real_numbers/) - 実数とは,ある17個の性質が成り立つ数の集合のことである.ここでは,そのうち実数の連続性に関わる性質について詳 - [最大値と最小値・上界と下界・上限と下限](https://mathabyss.com/maximum-minimum-upper_bound-lower_bound-supremum-infimum/) - 実数を土台とした微分積分では,実数を用いて定義される集合上の関数を考え,微分や積分を行うことが多い.実数の大小 - [絶対値・三角不等式](https://mathabyss.com/absolute_value-triangle_inequality/) - 微分や積分は極限を用いて定義され,極限は絶対値の不等式を用いて定義される.そのため,極限について考える場合は絶 - [実数の大小関係](https://mathabyss.com/real_number-order/) - 実数とは,ある17個の性質が成り立つ数の集合のことです.そんな実数の17の公理を徹底解説. - [実数の四則演算](https://mathabyss.com/real_number-arithmetic_operation/) - 実数とは,ある17個の性質が成り立つ数の集合のことです.そんな実数の17の公理を徹底解説. - [区間縮小法 ~主張・証明を解説~](https://mathabyss.com/nested_intervals/) - 区間縮小法とは実数の閉区間を狭めていくと,やがて1つの実数にたどり着くという命題である.この記事では,直感的に - [一般線形群と特殊線形群](https://mathabyss.com/linear_group/) - 一般線形群 定義1 体$K$上のベクトル空間$V$の全単射な線形変換全体の集合を$V$の一般線形群(gener - [【高校数学】指数法則](https://mathabyss.com/hm-指数法則/) - 累乗 まず,累乗の定義を理解しよう. $n$を正の整数,$a$を定数または変数とする. $a$の累乗→$a$を - [数列の極限 ~ε-N論法の本質を徹底解説~](https://mathabyss.com/limit_of_sequence/) - 数列の極限とは,ε-N論法によって厳密に定義される,解析学において非常に重要な概念です.そんな数列の極限の本質を徹底解説. - [2025年度 東大文系数学 第1問](https://mathabyss.com/2025-tokyo-l-1/) - 問題 $a$を正の実数とする.座標平面において,放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,a^ - [【徹底分析】令和7年度 大学入学共通テスト 数学Ⅰ,数学A](https://mathabyss.com/kyotutest2025_math1/) - 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