代数学 剰余群
正規部分群による剰余類は，群構造が入る．すなわち，正規部分群が見つかると，新たな部分群を構成することができる．剰余群正規部分群による剰余類に対して，次の演算を導入する．補題1$G$を群，$N\triangleleft G$とする．$G/N$...
大学数学
代数学 
代数学 表現行列
ベクトル空間の基底の取り方に行列を対応付けることができたように，線形写像にも行列を対応付けることができる．表現行列の定義表現行列を定義する準備として，線形写像に行列を対応付けできることを示す．補題1$K$を体，$V,W$を$K$上の有限次元...
位相空間論 ユークリッド空間
$n$個の$\mathbb{R}$の直積$\mathbb{R}^n$は，$n$次元空間と同一視することができる．集合$\mathbb{R}^n$が持つ構造を解き明かす．ユークリッド空間の定義$\mathbb{R}^n$に演算を導入することを...
位相空間論 ユークリッド空間の開集合･閉集合
ユークリッド空間における開集合と閉集合を厳密に定義し，それらの性質を解説する．開集合開集合の基盤となる集合を定義しておこう．定義1$n\in \mathbb{N}$，$\bm{a}\in \mathbb{R}^n$，$\varepsilon...
位相空間論 ユークリッド空間の点列
実数に対して実数列を考えたのと同様に，ユークリッド空間に対して点列を考えることができる．ユークリッド空間の開集合や閉集合は，点列の性質に言い換えることができる．点列点列は$\mathbb{N}$からの写像として定義する．定義1$n\in \...
代数学 準同型と同型
群の構造を捉えるために，群の間の写像を考えよう．群の準同型と同型群は演算が備わった集合である．そこで，集合として対応しているだけでなく，演算についても整合しているとき，2つの群を同一視することにしよう．定義1$G_1,G_2$を群，$f:G...
代数学 ベクトル空間の和と直和
ベクトル空間の和定義1$n\in \mathbb{N}$，$V$を$\mathbb{C}$上のベクトル空間，$W_1,W_2,\dots ,W_n$を$V$の部分空間とする．\を$W_1,W_2,\dots ,W_n$の和(sum)(または...
代数学 正方行列のジョルダン標準形
当サイトでは，ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています．初学者の方には，以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています．まずは，具体的な計算を通して，ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます．2次正方行列については，以下の...
代数学 冪零行列のジョルダン標準形
当サイトでは，ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています．初学者の方には，以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています．まずは，具体的な計算を通して，ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます．2次正方行列については，以下の...
代数学 3次正方行列のジョルダン標準形
当サイトでは，ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています．初学者の方には，以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています．まずは，具体的な計算を通して，ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます．2次正方行列については，以下の...