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MathAbyssでは，｢難解な数学を，簡潔に･厳密に･丁寧に｣解説した記事を公開しています．
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記事一覧
分野別に記事を整理しています．順次，記事を追加予定です．
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高校数学
高校数学を，｢本質的な理解｣と｢問題を解く｣ことに焦点を当て，シンプルかつ徹底的に解説．
場合の数
確率
図形の性質
式と証明
複素数と方程式
図形と方程式
三角関数
指数関数･対数関数
微分法
積分法
数列
統計的な推測
関数
極限
微分法
微分法の応用
積分法
積分法の応用
平面ベクトル
- ベクトル
- ベクトルの和とスカラー倍
- 1次独立と1次従属
- ベクトルの成分表示
- ベクトルの内積
- ベクトルの内積と不等式
- 位置ベクトルと図形
- 交点の位置ベクトル
- 三角形の五心の位置ベクトル
- ベクトルの終点の存在範囲
- ベクトル方程式
- 斜交座標
空間ベクトル
複素数平面
式と曲線
数学の全体像シリーズ
大学数学の内容を分野別に総整理．全体を俯瞰し，個別の内容の理解を深めよう．
数学基礎論
集合論，実数論，位相空間論，圏論を徹底解説．
命題論理
集合
写像
二項関係
- 二項関係
- 同値関係
- 商集合
- well-defined性
- 順序関係と順序集合
- 最大元と最小元･極大元と極小元･有界性･上限と下限
- 順序同型写像
- 順序の完備性
- 順序の稠密性
濃度と順序数
- 集合の濃度
- ベルンシュタインの定理
- カントールの対角線論法
- カントールの定理
- 濃度の演算
- 整列集合
- 超限帰納法
- 整列集合の順序同型
- 整列集合の比較定理
- ツォルンの補題
- 整列可能定理
- 順序数
- 順序数の演算
選択公理
- 選択公理
- 選択公理と同値な命題
- テューキーの補題
- クルルの定理
- 基底の延長定理･基底の存在定理
- チコノフの定理
- 連続体仮説
自然数
- 自然数の定義
- 自然数の一意性
- 自然数の加法
- 自然数の乗法
- 自然数の大小
- 自然数の簡約法則
- 自然数の整列性
- 自然数の自然数乗
整数
- 整数の定義
- 整数の一意性
- 整数の加法･減法
- 整数の乗法
- 整数の大小
- 整数の簡約法則
- 整数の絶対値
- 倍数と約数
- 素数･素因数分解
有理数
- 有理数の定義
- 有理数の一意性
- 有理数の加法･減法
- 有理数の乗法･除法
- 有理数の大小
- 有理数の簡約法則
- 有理数の稠密性
- 有理数の絶対値
- 有理数の整数乗
実数
- デデキントの切断による実数の定義
- 有理数の完備化による実数の定義
- 実数の大小
- 実数の加法･減法
- 実数の乗法･除法
- 実数の絶対値
- 実数列の極限
- 実数の完備性
- 実数の連続性
- 実区間
- 最大値と最小値･上限と下限
- 実数の一意性
- 実関数の連続性
ユークリッド空間
- ユークリッド空間
- ユークリッド空間の開集合･閉集合
- ユークリッド空間の点列
- 多変数写像の連続性
- 行列の集合
複素数
- 複素数の定義
- 複素数の四則演算
- 複素数の絶対値
- 複素平面
- 代数学の基本定理
ユークリッド空間
距離空間
位相空間
位相空間の性質
- 連結空間
- 局所連結空間
- コンパクト空間
- チコノフの定理
- ハウスドルフ空間
- 分離公理
- 局所コンパクト空間
- パラコンパクト空間
- コンパクト化
解析学
微分積分学，ベクトル解析学，複素関数論，微分方程式論，ルベーグ積分論，フーリエ解析学，関数解析学，確率論を徹底解説．
1. 実数
1.1. 実数の公理
1.2. 数列
1,3. 実数の連続性
- 連続の公理と同値な命題
- 有界単調数列の収束定理
- アルキメデスの原理
- 区間
- 区間縮小法
- 部分列
- ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理
- コーシー列
- 連分数
- ハイネ･ボレルの被覆定理
- 有理数の稠密性
1.4. 一変数関数
- 関数の定義
- 関数の極限
- 関数の極限の性質
- 関数の連続性･一様連続性
- 最大値･最小値の定理
- 中間値の定理
- 逆関数
1.5. ユークリッド空間
- ユークリッド空間
- 点列の極限
- 多変数関数の極限
- 多変数関数の連続性
2. 級数
2.1. 拡大実数
- 拡大実数
- 拡大実数の点列の極限
- 上極限と下極限の定義
- 上極限と下極限の性質
2.2 級数
- 級数の定義
- 級数の収束性
- 正項級数
- コーシーの判定法
- ダランベールの判定法
- オイラー･マクローリンの判定法
- 和の順序交換
- 二重数列
- 二重級数
- 無限積
2.3. 関数項級数
- 各点収束と一様収束
- 一様コーシー列
- 広義一様収束
- 関数項級数の定義
- 冪級数の収束半径
- コーシー･アダマールの公式
- ダランベールの公式
- ワイエルシュトラスのM判定法
- アーベルの定理
- 級数のコーシー積
2.4. 初等関数
- 指数関数
- 三角関数
- 双曲線関数
- 対数関数
- 逆三角関数
3. 微分法(1変数)
3.1. 一変数関数の微分
3.2. 平均値の定理
3.3. 高次導関数
- 高次導関数
- 関数の凹凸
- ニュートン法
- ロピタルの定理
3.4. 冪級数展開
- テイラーの定理･マクローリンの定理
- 剰余項
- 一変数のランダウの記号と漸近展開
- テイラー展開･マクローリン展開
4. 積分法(一変数)
4.1. リーマン積分
- リーマン積分の定義
- 上積分･下積分の定義
- ダルブーの定理
- 可積分条件
- リーマン積分の性質
- ハイネの定理
4.2. 微分積分学の基本定理
- 原始関数
- 微分積分学の基本定理
- 定積分の近似
- 高別積分定理
- 高別微分定理
- 一般化二項定理
4.3. 積分計算
- 有理関数の積分
- 無理関数の積分
- スターリングの積分
- ルジャンドルの球関数
4.4. 曲線の計量
- 線積分
- 曲線の長さの定義
- リプシッツ連続性
- $C^1$級平面曲線の長さ
4.5. リーマン･スティルチェス積分
- 有界変動性
- リーマン･スティルチェス積分可能性
- リーマン･スティルチェス積分の性質
- リーマン･スティルチェス積分と平均値の定理
5. 微分法(多変数)
5.1. 偏微分
- 偏微分の定義
- 連続微分可能性
- 高次偏導関数
5.2. 全微分
- 多変数のランダウの記号
- 全微分の定義
- 連鎖律
5.3. テイラーの定理
- 多変数のテイラーの定理
- 多変数の平均値の定理
- 接平面
- 多変数関数の極値
5.4. 陰関数
- 陽関数･陰関数
- 陰関数定理
- 逆関数定理
- 関数関係と局所関連定理
- 包絡線
5.5. ラグランジュの未定乗数法
- ラグランジュの未定乗数法
- 特異点
- 条件付き極値問題
6. 積分法(多変数)
6.1. 重積分
- 長方形領域上の積分
- 面積確定性
- 堆積確定性
- 平面領域上の積分
- 累次積分
- ユークリッド空間の領域上の積分
6.2. 変数変換公式
- リプシッツ連続性と速度
- アフィン変換
- 測度と線形変換
- 測度と行列式
- 最大値ノルムと作用素ノルム
- 変数変換公式
- ガウス積分
6.3. 曲面の計量
- 面積分
- 曲面の面積
- 回転体の体積･表面積
7. 広義積分
7.1. 広義積分(一変数)
- コンパクト近似列を用いた広義積分の定義
- 1の分割を用いた広義積分の定義
- 非有界関数の広義積分
- 広義積分可能性
- 広義積分と項別積分定理
7.2. 広義積分(多変数)
- 非有界区間上の広義積分
- 非有界関数の広義積分
7.3. ガンマ関数とベータ関数
- ガンマ関数
- ベータ関数
- ガンマ関数とベータ関数の関係
- ガンマ関数の相反公式
- 微分形式
- 外微分
- 微分形式の引き戻し
代数学
線形代数学，群論，環論，体論，整数論，表現論を徹底解説．
1. 行列
1.1. 行列と演算
- 行列
- 行列の例
- 行列の和･スカラー倍
- 行列の積
- 行列の分割
1.2. 連立1次方程式
- 行列と連立1次方程式
- 行列の基本変形
- 行列の階数
- 連立1次方程式の解の存在と一意性
- 同次連立1次方程式
1.3. 正則行列
- 正則行列と逆行列
- 行列の正則性
- 正則行列の性質
1.4. 行列式
- 行列式の定義
- 行列式の性質
- 余因子展開
- 余因子行列と逆行列
- クラメルの公式
- 内積，外積，三重積
- シルベスター行列
- ヤコビ行列
- 行列式の幾何学的意味
2. ベクトル空間
2.1. ベクトル空間
- ベクトル空間
- 1次独立･1次従属
- ベクトル空間の基底と次元
- 基底の延長定理･基底の存在定理
- ベクトル空間の基底変換
- ベクトル空間の和と直和
- ベクトル空間の直和と射影
- 冪等行列と射影子
- 商ベクトル空間
2.2. 線形写像
2.3. 内積空間
- 内積
- ノルム
- 正規直交基底
- グラム･シュミットの直交化法
- 直交変換
- 直行関数
- 対称変換
2.4. 複素内積空間
- 複素内積空間
- エルミート内積
- 随伴変換
3. 行列の対角化
3.1. 固有値
- 行列の固有値と固有空間
- 線形変換の固有値と固有空間
- 不変部分空間
- ケイリー･ハミルトンの定理
- 広義固有空間
- 広義固有空間と直和分解
3.2. 行列の対角化
- 実正方行列の対角化
- 複素正方行列の対角化
- 行列の対角化可能性
- 対称行列の対角化
- 行列の三角化
- 同時対角化
- ユニタリ行列による上三角化･対角化
- 正規行列
- 実正規行列のジョルダン標準形
3.3. ジョルダン標準形
- ジョルダン標準形の定義
- 2次正方行列のジョルダン標準形
- 3次正方行列のジョルダン標準形
- 冪零行列のジョルダン標準形
- 正方行列のジョルダン標準形
- 単因子
- 単因子論によるジョルダン標準形
3.4. ジョルダン分解
- ジョルダン分解
- 乗法的ジョルダン分解
- 一般スペクトル分解とジョルダン標準形の一意性
- 最小多項式
4. 線形代数の応用
4.1. 行列の解析学
- 行列･行列式の微分
- 行列の冪乗計算
- 差分方程式と行列
- 行列のノルム
- 行列の級数
- 行列指数関数
- 行列の指数関数の計算
- 微分方程式と行列
- ペロン･フロベニウスの定理
4.2. 2次形式
- 双1次形式
- 対称形式と交代形式
- 2次形式と標準形
- 2次形式の定値性
- 2次超曲面
- 等長変換
- 2次超曲面の中心
- 2次超曲面の標準形
4.3. テンソル
- 双対空間
- テンソル積
- 線形写像のテンソル積
- 多重線形写像のテンソル積
- テンソル空間
- 対称テンソルと交代テンソル
- テンソル代数
- グラスマン代数
- 係数体の拡大と制限
幾何学
初等幾何学，非ユークリッド幾何学，位相幾何学，代数幾何学，微分幾何学を徹底解説．
離散数学
グラフ理論，組合せ論を徹底解説．
数学史
数学史を徹底解説．
数理科学
統計学，数値解析学，計算機科学，数理物理学を徹底解説．
$\TeX$
理系学生は必須の$\TeX$の使い方を徹底解説．
問題解説
｢新作問題Problems｣では，MathAbyssが作問･改題した，一捻りのある問題を紹介．
中学入試，高校入試，大学入試，院試，競技数学の良問を，解くときの思考回路を完全再現して徹底的に解説．
- 1986年度 東工大数学 第1問
- 1998年度 東大理系数学 第4問
- 2009年度 大分大医数学 第1問
- 2013年度 東大理系数学 第5問
- 2016年度 阪大理系数学 第4問
- 2025年度 京大理学部特色数学 第1問
- 2025年度 東大文系数学 第1問
- 2025年度 東大文系数学 第2問
- 2025年度 東大理系数学 第2問
- 2025年度 阪大文系数学 第1問
- 2025年度 北大文系数学 第4問
- 2026年度 東大理系数学 第1問
- 2026年度 東大理系数学 第2問 / 東大文系数学 第2問
- 2026年度 東大理系数学 第3問
その他
当サイトの記事では，様々な書籍，PDFファイル，Webサイトを参考文献としています．基本的な参考文献のリストは以下のページに掲載しております．
