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MathAbyssでは,「難解な数学を,簡潔に・厳密に・丁寧に」解説した記事を公開しています.

最新情報は以下のページをご覧ください.

記事一覧

分野別に記事を整理しています.順次,記事を追加予定です.

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高校数学

高校数学を,「本質的な理解」と「問題を解く」ことに焦点を当て,シンプルかつ徹底的に解説.

数と式

集合と命題

2次関数

図形と計量

データの分析

場合の数

確率

図形の性質

式と証明

複素数と方程式

図形と方程式

三角関数

指数関数・対数関数

微分法

積分法

数列

統計的な推測

関数

極限

微分法

微分法の応用

積分法

積分法の応用

平面ベクトル

  • ベクトル
  • ベクトルの和とスカラー倍
  • 1次独立と1次従属
  • ベクトルの成分表示
  • ベクトルの内積
  • ベクトルの内積と不等式
  • 位置ベクトルと図形
  • 交点の位置ベクトル
  • 三角形の五心の位置ベクトル
  • ベクトルの終点の存在範囲
  • ベクトル方程式
  • 斜交座標

空間ベクトル

複素数平面

式と曲線

数学の全体像シリーズ

大学数学の内容を分野別に総整理.全体を俯瞰し,個別の内容の理解を深めよう.

問題解説

「新作問題Problems」では,MathAbyssが作問・改題した,一捻りのある問題を紹介.

中学入試,高校入試,大学入試,院試,競技数学の良問を,解くときの思考回路を完全再現して徹底的に解説.

数学基礎論

集合論,実数論,位相空間論,圏論を徹底解説.

命題論理

集合

写像

  • 写像
  • 像と逆像
  • 全射と単射
  • 合成写像
  • 定義域と値域・始集合と終集合
  • 写像の集合
  • 元の族
  • 集合族
  • 集合族の直積
  • 選択公理
  • 多変数写像

同値関係

  • 二項関係
  • 同値関係
  • 同値類・商集合
  • 標準全射

濃度

  • 対等関係
  • ベルンシュタインの定理
  • 濃度
  • 濃度の大小
  • 可算集合
  • 可算集合の性質
  • 非可算集合
  • カントールの定理
  • 濃度の和と積
  • 濃度の累乗
  • 可算濃度と連続体濃度の演算

順序

  • 順序関係
  • 順序集合
  • 最大元と最小元・極大元と極小元・上限と下限
  • 順序同型写像
  • 双対順序

整列集合

  • 整列集合
  • 超限帰納法
  • 整列集合の順序同型
  • 整列集合の比較定理
  • ツォルンの補題
  • ツォルンの補題と同値な命題
  • 整列可能定理
  • ツォルンの補題と濃度

順序数

  • 順序数
  • 順序数の大小
  • 順序数の演算
  • 順序数と濃度

その他

  • 連続体仮説

自然数

  • 自然数の定義
  • 自然数の一意性
  • 自然数の加法
  • 自然数の乗法
  • 自然数の大小
  • 自然数の簡約法則
  • 自然数の整列性
  • 自然数の自然数乗

整数

  • 整数の定義
  • 整数の一意性
  • 整数の加法・減法
  • 整数の乗法
  • 整数の大小
  • 整数の簡約法則
  • 整数の絶対値
  • 倍数と約数
  • 素数・素因数分解

有理数

  • 有理数の定義
  • 有理数の一意性
  • 有理数の加法・減法
  • 有理数の乗法・除法
  • 有理数の大小
  • 有理数の簡約法則
  • 有理数の稠密性
  • 有理数の絶対値
  • 有理数の整数乗

実数

  • デデキントの切断による実数の定義
  • 有理数の完備化による実数の定義
  • 実数の大小
  • 実数の加法・減法
  • 実数の乗法・除法
  • 実数の絶対値
  • 実数列の極限
  • 実数の完備性
  • 実数の連続性
  • 実区間
  • 最大値と最小値・上限と下限
  • 実数の一意性
  • 実関数の連続性

ユークリッド空間

  • ユークリッド空間の定義と演算
  • 開集合と閉集合
  • 点列の極限
  • 多変数写像の連続性
  • 行列の集合

複素数

  • 複素数の定義
  • 複素数の四則演算
  • 複素数の絶対値
  • 複素平面
  • 代数学の基本定理

解析学

微分積分学,ベクトル解析学,複素関数論,微分方程式論,フーリエ解析学,確率論を徹底解説.

実数

ユークリッド空間

  • 数空間
  • ベクトル空間
  • ユークリッド空間
  • ノルムと距離
  • 点列と極限
  • 2次元ユークリッド空間と複素数
  • 複素数の性質

級数

  • 級数の収束と発散
  • 絶対収束と条件収束
  • 比較判定法
  • コーシーの判定法
  • ダランベールの判定法
  • 正項級数の収束性

関数

  • 閉包
  • 関数と極限
  • 点列の極限と関数の極限
  • 関数の極限の性質
  • 関数の連続性
  • 関数の極限と四則演算
  • 合成関数
  • 関数の収束とコーシーの収束条件
  • 関数列と各点収束
  • ワイエルシュトラスのM判定法
  • 点列コンパクト
  • 関数の最大値と最小値
  • 被覆
  • ハイネ・ボレルの被覆定理
  • 中間値の定理
  • 開集合の連結性
  • 開集合と閉集合の性質

1変数関数の微分法

  • 行列の基本性質
  • 実変数関数の微分
  • 実変数関数の微分可能性と連続性
  • 実変数関数の微分と四則演算
  • 導関数と接線
  • 片側極限・片側連続・片側微分
  • 高次導関数
  • ライプニッツの公式
  • 関数の極値
  • ロルの定理・平均値の定理
  • 定数関数と導関数
  • 関数の単調性と導関数
  • 関数の極値と2階導関数
  • 関数と導関数の連続性
  • コーシーの平均値の定理
  • 実変数のテイラーの定理
  • テイラー展開
  • 凸関数
  • ニュートンの逐次近似法
  • 方向微分
  • 偏微分
  • 偏微分の交換
  • 連続微分可能性
  • ランダウの記号
  • 関数の同値
  • 漸近展開

多変数関数の微分法

  • 多変数実数値関数の微分
  • 接超平面
  • 多変数実数値関数と微分可能性
  • 勾配
  • 多変数ベクトル値関数の微分
  • 多変数ベクトル値関数の微分可能性と連続性
  • 多変数ベクトル値関数の微分と和・定数倍
  • 連鎖律
  • ヤコビアン
  • 多変数ベクトル値関数の積の微分法
  • 合成関数の2階偏導関数
  • 有限増分の定理
  • 逆関数定理
  • 多変数のテイラーの定理
  • 多変数関数の極値
  • 2次形式と関数の最大値・最小値
  • 2次形式の性質と同値な命題
  • 2次形式と関数の極値

代数学

線形代数学,群論・環論・体論,整数論,表現論を徹底解説

  • 部分群
  • 群の生成
  • 対称群
  • 一般線形群と特殊線形群
  • 直交群
  • 斜交群
  • 四元数群
  • 同型写像
  • 剰余類
  • ラグランジュの定理
  • 正規部分群
  • 剰余群
  • 準同型定理
  • 群の作用
  • 群作用の軌道
  • 固定部分群定理
  • 共役類
  • 交換子群
  • 可解群
  • $p$群
  • 単純群
  • シローの定理
  • 有限アーベル群
  • 有限群の分類
  • 交代群
  • 正多面体群

幾何学

初等幾何学,位相空間論,非ユークリッド幾何学,代数幾何学,微分幾何学を徹底解説.


離散数学

グラフ理論,組合せ論を徹底解説.

数理科学

統計学,数値解析学,計算機科学,数理物理学を徹底解説.

数学史

数学史を徹底解説.

$\TeX$

理系学生は必須の$\TeX$の使い方を徹底解説.

Python

Pythonの使い方を徹底解説.

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