位相空間論位相
距離関数を用いて開集合を定義するのではなく，距離関数が定義されていない一般の集合に対しても開集合を定義するために，位相を導入する．位相の定義空でない集合に対して，その位相を次のように定義する．定義1$X$を空でない集合，$X$の部分集合族$...
2025-05
位相空間論
位相空間論位相空間論とは
位相空間論が発展した歴史とともに，位相空間や距離空間を定義する動機や直感的イメージをまとめた．$\mathbb{R}$の性質実数全体の集合$\mathbb{R}$は，数直線を用いることで可視化することができた．まず，1つの実数は直線上の1点...
微分積分学有理数の稠密性
アルキメデスの原理を出発点とし，整数や有理数と実数の関係について述べる．床関数と天井関数まずは，整数と実数の関係を考える．定理1任意の$x\in \mathbb{R}$に対し，ある$n\in \mathbb{N}$がただ1つ存在し\が成り立...
微分積分学コーシー列
極限値を求めることなく数列の収束性を判定する方法として，コーシー列の概念を導入する．コーシー列定義1$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を数列とする．任意の$\varepsilon >0$に対し，ある$N\in \mathb...
微分積分学ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理
実数を特徴づける部分列の最も重要な性質であるボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理の主張と証明を解説する．ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理定理1(ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理(Bolzano-Weierstrass theo...