数学基礎論 逆写像
合成すると恒等写像になるような写像と，その存在条件について考える．逆写像の定義逆写像は，次のように定義される．定義1$X,Y$を空でない集合，$f:X\to Y$を全単射とする．$Y\times X$の部分集合\が$Y$から$X$への写像で...
数学基礎論
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数学基礎論 合成写像
写像に関する演算の1つである，写像の合成について解説する．写像の合成合成写像の定義2つの写像から，1つの写像を構成する方法として，写像の合成がある．定義1$X$を集合，$Y,Z$を空でない集合とし，$f:X\to Y$を写像とする．また，$...
数学基礎論 全射と単射
2つの集合の関係を記述する写像において，非常に重要な概念である｢全射｣と｢単射｣について述べる．全射と単射の定義全射の定義定義1$X$を集合，$Y$を空でない集合とし，$f:X\to Y$を写像とする．任意の$y\in Y$に対して，ある$...
数学基礎論 像と逆像
写像によって定義される重要な集合である像と逆像についてまとめた．像と逆像の定義像写像の像は，次のように定義される．定義1$X$を集合，$Y$を空でない集合とし，$f:X\to Y$を写像とする．$A$を$X$の部分集合とする．集合\を$f$...
数学基礎論 写像
写像の定義とその意義について徹底的に解説する．写像定義1$X,Y$を集合とする．任意の$x\in X$に対して，ある$y\in Y$をただ一つ対応させるという規則を$f$とするとき\で表し，$f$を$X$から$Y$への写像(mapping,...
代数学 基底の延長定理･基底の存在定理
零空間でない任意のベクトル空間に対して，基底が存在することを示す．基底の延長定理部分空間の基底にいくつかベクトルを付け加えることで，元のベクトル空間の基底を構成できる．定理1(基底の延長定理)$m,n\in \mathbb{N}$は$m<n...
位相空間論 ユークリッド空間
$n$個の$\mathbb{R}$の直積$\mathbb{R}^n$は，$n$次元空間と同一視することができる．集合$\mathbb{R}^n$が持つ構造を解き明かす．ユークリッド空間の定義$\mathbb{R}^n$に演算を導入することを...
位相空間論 ユークリッド空間の開集合･閉集合
ユークリッド空間における開集合と閉集合を厳密に定義し，それらの性質を解説する．開集合開集合の基盤となる集合を定義しておこう．定義1$n\in \mathbb{N}$，$\bm{a}\in \mathbb{R}^n$，$\varepsilon...
位相空間論 ユークリッド空間の点列
実数に対して実数列を考えたのと同様に，ユークリッド空間に対して点列を考えることができる．ユークリッド空間の開集合や閉集合は，点列の性質に言い換えることができる．点列点列は$\mathbb{N}$からの写像として定義する．定義1$n\in \...
位相空間論 位相
距離関数を用いて開集合を定義するのではなく，距離関数が定義されていない一般の集合に対しても開集合を定義するために，位相を導入する．位相の定義空でない集合に対して，その位相を次のように定義する．定義1$X$を空でない集合，$X$の部分集合族$...