微分積分学数列の極限と不等式
直接計算することが困難な数列の極限は，数列の不等式評価によってその極限を求めることができるようになる場合がある．数列の極限と不等式十分大きい$n\in \mathbb{N}$について，2つの数列$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty...
解析学
微分積分学
微分積分学数列の極限と四則演算
高校数学では曖昧にされてきた数列の極限の性質は，$\varepsilon -N$論法によって証明を与えることが可能になる．数列の極限と四則演算この記事では，次の定理に証明を与える．定理1$c\in \mathbb{R}$とする．数列$\{ ...
微分積分学自然数･整数･有理数
微分積分学の土台となる数列の極限を理解するために，まずは数の集合について整理しておく．厳密な理論体系は集合論や数学基礎論の記事に委ねることにし，ここでは最低限必要な事柄に絞って解説する．自然数自然数とは\のような数である，と高校までの数学で...
微分積分学上限と下限の性質
順序集合には上限と下限が定義され，特に実数の重要な性質である連続性の理解に欠かせない．ここでは，上限と下限の性質について詳しく解説する．上限と下限上限と下限の定義や基本的な性質は次の記事で詳しくまとめている．ここではその概要を簡単にまとめて...
微分積分学実数の連続性
実数とは，ある17個の性質が成り立つ数の集合のことである．ここでは，そのうち実数の連続性に関わる性質について詳しく扱う．実数の公理日本の数学教育においては，算数で正の整数や$0$，正の有理数，円周率を教わり，中学数学で負の整数や負の有理数，...
微分積分学最大値と最小値･上界と下界･上限と下限
実数を土台とした微分積分では，実数を用いて定義される集合上の関数を考え，微分や積分を行うことが多い．実数の大小関係を用いて，こうした集合の範囲を捉えることは非常に重要であり，ここではそのために必要な6つの指標を取り扱う．最大値と最小値実数の...
微分積分学絶対値･三角不等式
微分や積分は極限を用いて定義され，極限は絶対値の不等式を用いて定義される．そのため，極限について考える場合は絶対値とその不等式評価が欠かせない．ここでは，絶対値の定義と，それに付随する重要な不等式である三角不等式について解説する．絶対値絶対...
微分積分学実数の大小関係
実数とは，ある17個の性質が成り立つ数の集合のことである．ここでは，そのうち大小関係に関わる6個の性質について詳しく扱う．実数の公理日本の数学教育においては，算数で正の整数や$0$，正の有理数，円周率を教わり，中学数学で負の整数や負の有理数...
微分積分学実数の四則演算
実数とは，ある17個の性質が成り立つ数の集合のことである．ここでは，そのうち四則演算に関わる10個の性質について詳しく扱う．実数の公理日本の数学教育においては，算数で正の整数や$0$，正の有理数，円周率を教わり，中学数学で負の整数や負の有理...
微分積分学区間縮小法 ～主張･証明を解説～
区間縮小法とは実数の閉区間を狭めていくと，やがて1つの実数にたどり着くという命題である．この記事では，直感的に正しそうなこの定理を数学的に厳密な証明を与える．区間縮小法の主張定理1(区間縮小法(nested intervals))任意の$n...