代数学 体の生成
集合から体を生成する方法についてまとめた．体の生成与えられた集合から，群や環を生成できたように，体を生成することができる．定義1$K$を体，$L$を$K$の部分体，$S$を$K$の部分集合とする．$L$上$S$で生成された体(field g...
代数学
代数学 
代数学 体の拡大
体について議論するために欠かせない，体の拡大について解説する．拡大体･部分体･中間体体の拡大は，次のように定義される．定義1$K$を体，$L,M$を$K$の部分環とする．$L$が体であるとき，$L$を$K$の部分体(subfield)(また...
代数学 標数
特に体論において重要な，環の標数についてまとめた．標数環に対して，標数は次のように定義される．定義1$R$を環，$\phi :\mathbb{Z}\to R;n\mapsto n\cdot 1$を自然な環準同型写像とする．$K$の標数(ch...
代数学 行列式の定義
線形変換による拡大率を表す行列式の定義について解説する．行列式の導入平面上の任意のベクトルは，$x$軸方向の単位ベクトル$\dbinom{1}{0}$と$y$軸方向の単位ベクトル$\dbinom{0}{1}$の和とスカラー倍によって表すこと...
代数学 行列の積
行列の積を定義する．行列の積の導入行列の積について考える．ベクトルに対しては，内積と外積という2種類の積が存在した．これらを用いて行列の積を定義しても良いが，あえて別の方法で定義することにしよう．そもそも行列は，複数のベクトルをまとめて扱う...
代数学 行列の和･スカラー倍
行列の和とスカラー倍を定義する．行列の和･スカラー倍の導入まずは$2$次元平面上で考えることにする．$2$次元平面上で2つのベクトル\が与えられたとき，これをまとめて\という行列で表すことにする．同様に\という2つのベクトルについても，まと...
代数学 群の例
群論では，様々な群の例が登場する．ここでは，重要度の高い群を列挙してまとめた．加法･乗法の群$\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$$\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathb...
代数学 1次独立･1次従属
1次独立･1次従属$\mathbb{R}^3$において，2つのベクトル$\bm{a},\bm{b}\in \mathbb{R}^3$が与えられたとき，例えば次のような平面$\alpha$が定まる．このとき，もう1つのベクトル$\bm{c}\...
代数学 正規部分群
剰余類は群構造を持つとは限らない．剰余類に群構造を入れる手段に一つとして，正規部分群を導入する．正規部分群定義1$G$を群，$H$を$G$の部分群とする．任意の$g\in G$と任意の$h\in H$に対して，$ghg^{-1}\in H$...
代数学 行列指数関数
指数関数指数関数について簡単に復習しておく．$a\in \mathbb{R}$と$n\in \mathbb{N}$に対して，$a^n$は次のように定義される．\より厳密には，次のように帰納的に定義される．\このとき，次の指数法則が成り立って...