代数学 体の拡大
体について議論するために欠かせない，体の拡大について解説する．拡大体･部分体･中間体体の拡大は，次のように定義される．定義1$K$を体，$L,M$を$K$の部分環とする．$L$が体であるとき，$L$を$K$の部分体(subfield)(また...
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代数学 
代数学 標数
特に体論において重要な，環の標数についてまとめた．標数環に対して，標数は次のように定義される．定義1$R$を環，$\phi :\mathbb{Z}\to R;n\mapsto n\cdot 1$を自然な環準同型写像とする．$K$の標数(ch...
ルベーグ積分論 完全加法族
面積や体積を一般化した測度を定義する土台となる，完全加法族について解説する．完全加法族の定義完全加法族は，有限加法族により強い条件を付した集合族である．有限加法族については，以下の記事を参照していただきたい．定義1$X$を空でない集合，$\...
ルベーグ積分論 有限加法族
面積や体積を一般化した測度を定義する土台となる，有限加法族について解説する．有限加法族の定義有限加法族は，集合の演算である和に注目した構造である．定義1$X$を空でない集合，$\mathcal{F}$を$X$の部分集合族とする．$\math...
代数学 行列式の定義
線形変換による拡大率を表す行列式の定義について解説する．行列式の導入平面上の任意のベクトルは，$x$軸方向の単位ベクトル$\dbinom{1}{0}$と$y$軸方向の単位ベクトル$\dbinom{0}{1}$の和とスカラー倍によって表すこと...
代数学 行列の積
行列の積を定義する．行列の積の導入行列の積について考える．ベクトルに対しては，内積と外積という2種類の積が存在した．これらを用いて行列の積を定義しても良いが，あえて別の方法で定義することにしよう．そもそも行列は，複数のベクトルをまとめて扱う...
代数学 行列の和･スカラー倍
行列の和とスカラー倍を定義する．行列の和･スカラー倍の導入まずは$2$次元平面上で考えることにする．$2$次元平面上で2つのベクトル\が与えられたとき，これをまとめて\という行列で表すことにする．同様に\という2つのベクトルについても，まと...
数学基礎論 逆写像
合成すると恒等写像になるような写像と，その存在条件について考える．逆写像の定義逆写像は，次のように定義される．定義1$X,Y$を空でない集合，$f:X\to Y$を全単射とする．$Y\times X$の部分集合\が$Y$から$X$への写像で...
問題解説 2026年度 東大理系数学 第2問 / 東大文系数学 第2問
問題$n$を正の整数とする．座標平面上の$3n$個の点がなす集合\から相異なる3点を選ぶ．ただし，どの3点も当確率で選ばれるものとする．選んだ3点が三角形の3頂点となる確率を$p_n$とする．(1) $p_5$を求めよ．(2) $m$を$2...
問題解説 2026年度 東大理系数学 第1問
問題(1) 関数$f(\theta )=\sin \theta -\theta +\dfrac{\theta ^3}{6}$の区間$-1\leqq \theta \leqq 1$における最大値$M$および最小値$m$を求めよ．(2) (1)...