代数学ベクトル空間 ベクトル空間とは,2つの演算と8つの性質を満たす集合のことである.ベクトル空間の定義さて,線形代数や微分積分の世界では,実数の集合$\mathbb{R}$は次のような性質を満たすものとして考えていた.公理1実数全体の集合$\mathbb{R... 2024/11/08代数学線形代数学
問題解説2016年度 阪大理系数学 第4問 問題正の整数$n$に対して\とおき,$1$以上$n$以下のすべての奇数の積を$A_n$とする.(1) $\log _2n$以下の最大の整数を$N$とするとき,$2^NA_nS_n$は奇数の整数であることを示せ.(2) $S_n=2+\dfr... 2024/11/01問題解説大学入試問題解説大阪大学
数学基礎論集合論とは 集合論が発展した歴史とともに,集合論の数学での役割をまとめた.素朴集合論高校数学で扱われる集合論や,大学数学の基礎として扱われる集合論は,詳しく言うと素朴集合論と呼ばれる.これは,非形式的な自然言語によって展開される集合論であり,数学者ゲオ... 2024/11/01数学基礎論集合論
数学基礎論全称と存在 全称命題と存在命題の定義と,その否定についてまとめた.全称記号次の命題$P$を考える.$P$:$n$が正の整数$\implies n>0$$n$が正の整数であることと,$n$が$1,2,\dots $のいずれかと等しいことは同値であるから,... 2024/11/01数学基礎論集合論
数学基礎論論理演算の性質 命題の論理演算についての基本性質をまとめた.これらの性質は,論理記号を日本語で解釈することによって,直感的に理解することができる.この記事では,$P,Q,R$を命題とする.論理和・論理積の性質まず,直感的に成り立つのは当然のように思える性質... 2024/11/01数学基礎論集合論
数学基礎論命題 すべての数学の土台となる「命題」の論理についてまとめた.命題論理学における命題は,次のように説明される.定義11正しいか正しくないかが客観的に判断できる主張を命題(proposition)という.命題が正しいとき,その命題は真(true)で... 2024/11/01数学基礎論集合論
代数学過去最大の素数が発見! 2024年10月,衝撃的なニュースが飛び込んできた.なんと,約6年ぶりに「現時点で素数であることが分かっている具体的な最大の整数」が更新されたのだ.この記事では,発見された素数を紹介するとともに,背景にある素数の知識や素数発見の最前線を解説... 2024/10/28代数学数学ニュース整数論
問題解説2013年度 東大理系数学 第5問 問題次の命題Pを証明したい.命題P 次の条件(a),(b)をともに満たす自然数(1以上の整数)$A$が存在する. (a) $A$は連続する3つの自然数の積である. (b) $A$を$10$進法で表したとき,$1$が連続して99回以上現れると... 2024/10/01問題解説大学入試問題解説東京大学
問題解説1998年度 東大理系数学 第4問 問題実数$a$に対して$k\leqq a<k+1$をみたす整数$k$を$$で表す.$n$を正の整数として\とおく.$36n+1$個の整数$,,,\dots ,$のうち相異なるものの個数を$n$を用いて表せ.(1998年度 東京大学 理系 前... 2024/10/01問題解説大学入試問題解説東京大学
問題解説1986年度 東工大数学 第1問 問題整数$a_n=19^n+(-1)^{n-1}2^{4n-3}\quad (n=1,2,3,\dots )$のすべてを割り切る素数を求めよ.(1986年度 東京工業大学 第1問)当記事で紹介する解答は東京工業大学(東京科学大学)が示した解... 2024/10/01問題解説大学入試問題解説東京工業大学