代数学ベクトル空間の基底と次元
ベクトル空間を特徴づける概念として，基底と次元を定義する．ベクトル空間の生成いくつかのベクトルが与えられたとき，それらの1次関係で表されるベクトル全体の集合はベクトル空間になる．補題1$n\in \mathbb{N}$，$K$を体，$V$を...
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代数学
代数学基底の延長定理･基底の存在定理
零空間でない任意のベクトル空間に対して，基底が存在することを示す．基底の延長定理部分空間の基底にいくつかベクトルを付け加えることで，元のベクトル空間の基底を構成できる．定理1(基底の延長定理)$m,n\in \mathbb{N}$は$m<n...
代数学ベクトル空間の基底変換
ベクトル空間には様々な基底の取り方がある．任意のベクトルは基底の1次結合の形で表現できるが，基底を変えるとどのようになるのだろうか．ベクトル空間の基底と成分ベクトル空間の基底は，ベクトル空間に座標を設定することと等価である．座標を定めるには...
代数学商ベクトル空間
ベクトル空間とその部分空間が与えられたとき，部分空間を｢潰す｣ことにより，それまで異なるものとして扱っていたベクトルを，新たな尺度で同一視することができるようになる．これにより得られる集合はベクトル空間になる．商ベクトル空間の定義商ベクトル...
代数学線形写像
複数のベクトル空間が与えられたとき，それらの関係性を記述することは非常に重要である．この記事では，そのために必要な線形写像の概念についてまとめた．線形写像線形写像を定義するにあたって，写像に関する知識が必要となる．詳しくは，次の記事を参照す...
ベクトル解析学微分形式
ベクトル解析学で登場する種々の積分定理は，微分形式を用いることで非常に簡潔にまとめることができる．以下，$n\in \mathbb{N}$，$x^1,x^2,\dots ,x^n$を$\mathbb{R}^n$の座標とする．微分形式の(厳密...
代数学群の元の位数
群の元に対しても，位数という用語を定義する．これを用いることで，$\mathbb{Z}$の部分群が$n\mathbb{Z}$のみであることを示すことができる．群の元の指数群の元の指数表記を，定義1のように帰納的に定める．定義1$G$を群，$...
代数学自己同型
群の同型の概念は，2つの群の構造を同一視するものである．特に，自身の群への同型写像を考えることは重要である．自己同型定義1$G$を群とする．$G$から$G$への同型写像を自己同型(または自己同型写像)(automorphism)という．例1...
代数学剰余類
群の構造を調べるには，なるべく位数が小さい部分群に注目するとよい．剰余類を導入するとラグランジュの定理が得られ，部分群の位数を調べることができる．剰余類剰余類を定義するための準備として，次の補題を示す．補題1$G$を群，$H$を$G$の部分...
代数学剰余群
正規部分群による剰余類は，群構造が入る．すなわち，正規部分群が見つかると，新たな部分群を構成することができる．剰余群正規部分群による剰余類に対して，次の演算を導入する．補題1$G$を群，$N\triangleleft G$とする．$G/N$...