数学基礎論全称と存在
全称命題と存在命題の定義と，その否定についてまとめた．全称記号次の命題$P$を考える．$P$:$n$が正の整数$\implies n>0$$n$が正の整数であることと，$n$が$1,2,\dots $のいずれかと等しいことは同値であるから，...
gebra
数学基礎論
数学基礎論論理演算の性質
命題の論理演算についての基本性質をまとめた．これらの性質は，論理記号を日本語で解釈することによって，直感的に理解することができる．この記事では，$P,Q,R$を命題とする．論理和･論理積の性質まず，直感的に成り立つのは当然のように思える性質...
数学基礎論命題
すべての数学の土台となる｢命題｣の論理についてまとめた．命題論理学における命題は，次のように説明される．定義11正しいか正しくないかが客観的に判断できる主張を命題(proposition)という．命題が正しいとき，その命題は真(true)で...
代数学過去最大の素数が発見！
2024年10月，衝撃的なニュースが飛び込んできた．なんと，約6年ぶりに｢現時点で素数であることが分かっている具体的な最大の整数｣が更新されたのだ．この記事では，発見された素数を紹介するとともに，背景にある素数の知識や素数発見の最前線を解説...
問題解説2013年度 東大理系数学 第5問
問題次の命題Pを証明したい．命題P 次の条件(a)，(b)をともに満たす自然数(1以上の整数)$A$が存在する． (a) $A$は連続する3つの自然数の積である． (b) $A$を$10$進法で表したとき，$1$が連続して99回以上現れると...
問題解説1998年度 東大理系数学 第4問
問題実数$a$に対して$k\leqq a<k+1$をみたす整数$k$を$$で表す．$n$を正の整数として\とおく．$36n+1$個の整数$,,,\dots ,$のうち相異なるものの個数を$n$を用いて表せ．(1998年度 東京大学 理系 前...
問題解説1986年度 東工大数学 第1問
問題整数$a_n=19^n+(-1)^{n-1}2^{4n-3}\quad (n=1,2,3,\dots )$のすべてを割り切る素数を求めよ．(1986年度 東京工業大学 第1問)当記事で紹介する解答は東京工業大学(東京科学大学)が示した解...
カテゴリなし正の整数･ゼロ ～実数論(1)～ 【体系高校数学#1】
この記事では，正の整数とゼロについて扱う．正の整数とゼロの導入正の整数と似た言葉として，自然数という言葉がある．高校までの数学では，自然数は正の整数と同義であり，自然数には$0$が含まれないと考える．しかし，大学数学や現代数学では，自然数に...
微分積分学区間縮小法 ～主張･証明を解説～
区間縮小法とは，という命題です．区間縮小法とは任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$a_n\le b_n$であるような単調増加数列$\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}$，単調減少数列$\{ b_n\}_{n=1}^{...
微分積分学有界単調数列の収束定理 ～主張･証明･例を解説～
有界単調数列の収束定理とは，上に有界な単調増加数列はその上限に収束するという命題です．有界単調数列の収束定理とは$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$が上に有界な単調増加数列であるとき，次の等式が成り立つ．\有界単調数列の収束...