微分積分学関数の単調性
数列の単調性と同様に，関数の単調性を考えることができる．関数の単調性$A$を$\mathbb{R}$の空でも1元集合でもない部分集合，$f:A\to \mathbb{R}$を関数とする．関数の単調性は，次の4つに分類できる．狭義単調増加$\...
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微分積分学
微分積分学ロルの定理･平均値の定理
微分積分学の様々な定理を証明する際に用いることになる平均値の定理について解説する．ロルの定理有界閉区間上の関数には微分係数が$0$になる点が存在する．定理1(ロルの定理(Rolle's theorem))$a,b$を$a<b$となる実数，$...
微分積分学関数の極値
関数の増減を調べることは微分積分学の目的の1つである．関数の極値と微分の関係性について述べる．関数の極値高校数学ではその定義が曖昧であった｢極値｣は，次のように厳密に定義される．定義1$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合，$f...
微分積分学実関数の微分の性質
関数の和・差・積・商及び合成と微分の整合性を取り上げる．関数の和･定数倍と微分まず，微分の線形性について考えよう．すなわち，｢和の微分｣は｢微分の和｣であり，｢定数倍の微分｣は｢微分の定数倍｣である．定理1$I\subset \mathbb...
微分積分学実関数の微分
$\mathbb{R}$を定義域とし，$\mathbb{R}$を値域とする関数の微分を定義する．微分の定義ここでは，$\mathbb{R}$の開区間1上で定義された実関数の微分を定義する．定義1$I\subset \mathbb{R}$を開...
位相空間論位相
距離関数を用いて開集合を定義するのではなく，距離関数が定義されていない一般の集合に対しても開集合を定義するために，位相を導入する．位相の定義空でない集合に対して，その位相を次のように定義する．定義1$X$を空でない集合，$X$の部分集合族$...
位相空間論位相空間論とは
位相空間論が発展した歴史とともに，位相空間や距離空間を定義する動機や直感的イメージをまとめた．$\mathbb{R}$の性質実数全体の集合$\mathbb{R}$は，数直線を用いることで可視化することができた．まず，1つの実数は直線上の1点...
微分積分学有理数の稠密性
アルキメデスの原理を出発点とし，整数や有理数と実数の関係について述べる．床関数と天井関数まずは，整数と実数の関係を考える．定理1任意の$x\in \mathbb{R}$に対し，ある$n\in \mathbb{N}$がただ1つ存在し\が成り立...
微分積分学コーシー列
極限値を求めることなく数列の収束性を判定する方法として，コーシー列の概念を導入する．コーシー列定義1$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を数列とする．任意の$\varepsilon >0$に対し，ある$N\in \mathb...
微分積分学ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理
実数を特徴づける部分列の最も重要な性質であるボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理の主張と証明を解説する．ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理定理1(ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理(Bolzano-Weierstrass theo...