代数学剰余類
群の構造を調べるには，なるべく位数が小さい部分群に注目するとよい．剰余類を導入するとラグランジュの定理が得られ，部分群の位数を調べることができる．剰余類剰余類を定義するための準備として，次の補題を示す．補題1$G$を群，$H$を$G$の部分...
代数学
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代数学剰余群
正規部分群による剰余類は，群構造が入る．すなわち，正規部分群が見つかると，新たな部分群を構成することができる．剰余群正規部分群による剰余類に対して，次の演算を導入する．補題1$G$を群，$N\triangleleft G$とする．$G/N$...
代数学表現行列
ベクトル空間の基底の取り方に行列を対応付けることができたように，線形写像にも行列を対応付けることができる．表現行列の定義表現行列を定義する準備として，線形写像に行列を対応付けできることを示す．補題1$K$を体，$V,W$を$K$上の有限次元...
代数学準同型と同型
群の構造を捉えるために，群の間の写像を考えよう．群の準同型と同型群は演算が備わった集合である．そこで，集合として対応しているだけでなく，演算についても整合しているとき，2つの群を同一視することにしよう．定義1$G_1,G_2$を群，$f:G...
代数学ベクトル空間の和と直和
ベクトル空間の和定義1$n\in \mathbb{N}$，$V$を$\mathbb{C}$上のベクトル空間，$W_1,W_2,\dots ,W_n$を$V$の部分空間とする．\を$W_1,W_2,\dots ,W_n$の和(sum)(または...
代数学正方行列のジョルダン標準形
当サイトでは，ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています．初学者の方には，以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています．まずは，具体的な計算を通して，ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます．2次正方行列については，以下の...
代数学冪零行列のジョルダン標準形
当サイトでは，ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています．初学者の方には，以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています．まずは，具体的な計算を通して，ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます．2次正方行列については，以下の...
代数学3次正方行列のジョルダン標準形
当サイトでは，ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています．初学者の方には，以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています．まずは，具体的な計算を通して，ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます．2次正方行列については，以下の...
代数学2次正方行列のジョルダン標準形
当サイトでは，ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています．初学者の方には，以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています．まずは，具体的な計算を通して，ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます．2次正方行列については，この記...
代数学生成系
群の元の構造を捉えるために，群の生成という概念を導入する．生成系定義1$G$を群，$S\subset G$，$g\in G$とする．ある$n\in \mathbb{N}$と$x_1,x_2,\dots ,x_n\in S$が存在して\と表さ...