代数学

群の元に対しても，位数という用語を定義する．これを用いることで，$\mathbb{Z}$の部分群が$n\mathbb{Z}$のみであることを示すことができる．群の元の指数群の元の指数表記を，定義1のように帰納的に定める．定義1$G$を群，$...

群の同型の概念は，2つの群の構造を同一視するものである．特に，自身の群への同型写像を考えることは重要である．自己同型定義1$G$を群とする．$G$から$G$への同型写像を自己同型(または自己同型写像)(automorphism)という．例1...

群の構造を調べるには，なるべく位数が小さい部分群に注目するとよい．剰余類を導入するとラグランジュの定理が得られ，部分群の位数を調べることができる．剰余類剰余類を定義するための準備として，次の補題を示す．補題1$G$を群，$H$を$G$の部分...

正規部分群による剰余類は，群構造が入る．すなわち，正規部分群が見つかると，新たな部分群を構成することができる．剰余群正規部分群による剰余類に対して，次の演算を導入する．補題1$G$を群，$N\triangleleft G$とする．$G/N$...

群の構造を捉えるために，群の間の写像を考えよう．群の準同型と同型群は演算が備わった集合である．そこで，集合として対応しているだけでなく，演算についても整合しているとき，2つの群を同一視することにしよう．定義1$G_1,G_2$を群，$f:G...