代数学過去最大の素数が発見！
2024年10月，衝撃的なニュースが飛び込んできた．なんと，約6年ぶりに｢現時点で素数であることが分かっている具体的な最大の整数｣が更新されたのだ．この記事では，発見された素数を紹介するとともに，背景にある素数の知識や素数発見の最前線を解説...
2024-10
代数学
問題解説2013年度 東大理系数学 第5問
問題次の命題Pを証明したい．命題P 次の条件(a)，(b)をともに満たす自然数(1以上の整数)$A$が存在する． (a) $A$は連続する3つの自然数の積である． (b) $A$を$10$進法で表したとき，$1$が連続して99回以上現れると...
問題解説1998年度 東大理系数学 第4問
問題実数$a$に対して$k\leqq a<k+1$をみたす整数$k$を$$で表す．$n$を正の整数として\とおく．$36n+1$個の整数$,,,\dots ,$のうち相異なるものの個数を$n$を用いて表せ．(1998年度 東京大学 理系 前...
問題解説1986年度 東工大数学 第1問
問題整数$a_n=19^n+(-1)^{n-1}2^{4n-3}\quad (n=1,2,3,\dots )$のすべてを割り切る素数を求めよ．(1986年度 東京工業大学 第1問)当記事で紹介する解答は東京工業大学(東京科学大学)が示した解...
カテゴリなし正の整数･ゼロ ～実数論(1)～ 【体系高校数学#1】
この記事では，正の整数とゼロについて扱う．正の整数とゼロの導入正の整数と似た言葉として，自然数という言葉がある．高校までの数学では，自然数は正の整数と同義であり，自然数には$0$が含まれないと考える．しかし，大学数学や現代数学では，自然数に...
微分積分学区間縮小法 ～主張･証明を解説～
区間縮小法とは実数の閉区間を狭めていくと，やがて1つの実数にたどり着くという命題である．この記事では，直感的に正しそうなこの定理を数学的に厳密な証明を与える．区間縮小法の主張定理1(区間縮小法(nested intervals))任意の$n...
微分積分学有界単調数列の収束定理
数列の有界性と単調性は収束性と結びついている．この記事では，その関係を数学的に証明する．有界単調数列の収束定理の主張この記事での｢単調｣は，｢広義単調｣を指すものとして考えて問題ない．定理1(有界単調数列の収束定理)$\{ a_n\} _{...