線形代数学

線形変換による拡大率を表す行列式の定義について解説する．行列式の導入平面上の任意のベクトルは，$x$軸方向の単位ベクトル$\dbinom{1}{0}$と$y$軸方向の単位ベクトル$\dbinom{0}{1}$の和とスカラー倍によって表すこと...

行列の積を定義する．行列の積の導入行列の積について考える．ベクトルに対しては，内積と外積という2種類の積が存在した．これらを用いて行列の積を定義しても良いが，あえて別の方法で定義することにしよう．そもそも行列は，複数のベクトルをまとめて扱う...

行列の和とスカラー倍を定義する．行列の和･スカラー倍の導入まずは$2$次元平面上で考えることにする．$2$次元平面上で2つのベクトル\が与えられたとき，これをまとめて\という行列で表すことにする．同様に\という2つのベクトルについても，まと...

1次独立･1次従属$\mathbb{R}^3$において，2つのベクトル$\bm{a},\bm{b}\in \mathbb{R}^3$が与えられたとき，例えば次のような平面$\alpha$が定まる．このとき，もう1つのベクトル$\bm{c}\...

指数関数指数関数について簡単に復習しておく．$a\in \mathbb{R}$と$n\in \mathbb{N}$に対して，$a^n$は次のように定義される．\より厳密には，次のように帰納的に定義される．\このとき，次の指数法則が成り立って...

線形代数学では行列と呼ばれる数学的対象を取り扱う．行列を考えることで，$n$次元ユークリッド空間の線形変換を機械的な計算で扱うことができるようになる．行列の導入高校数学では，ベクトルの成分表示を扱った．これは，$2$次元平面上のベクトルを2...

ベクトル空間を特徴づける概念として，基底と次元を定義する．ベクトル空間の生成いくつかのベクトルが与えられたとき，それらの1次関係で表されるベクトル全体の集合はベクトル空間になる．補題1$n\in \mathbb{N}$，$K$を体，$V$を...

ベクトル空間には様々な基底の取り方がある．任意のベクトルは基底の1次結合の形で表現できるが，基底を変えるとどのようになるのだろうか．ベクトル空間の基底と成分ベクトル空間の基底は，ベクトル空間に座標を設定することと等価である．座標を定めるには...

ベクトル空間とその部分空間が与えられたとき，部分空間を｢潰す｣ことにより，それまで異なるものとして扱っていたベクトルを，新たな尺度で同一視することができるようになる．これにより得られる集合はベクトル空間になる．商ベクトル空間の定義商ベクトル...