解析学

複素数を視覚的･直感的に理解するために欠かせない複素平面を導入する．複素平面写像$f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{C}$を\により定めると，$f$は全単射である．よって，この逆写像$f^{-1}$によって，複素数を平面$...

複素数の定義まず，複素数の定義について述べる．実数から複素数を構成する詳しい方法(集合論的構成)や，代数的性質については別記事で述べている．素朴な定義$x$についての$2$次方程式\は実数解を持たない．ここで，この方程式を満たす実数でない解...

ベクトル解析学で登場する種々の積分定理は，微分形式を用いることで非常に簡潔にまとめることができる．以下，$n\in \mathbb{N}$，$x^1,x^2,\dots ,x^n$を$\mathbb{R}^n$の座標とする．微分形式の(厳密...

実数列の極限を拡大実数上に拡張すると，極限の性質はより強力なものになる．拡大実数の点列と極限の定義$\overline{\mathbb{R}}$上で極限を定義するために，次の概念を導入する．定義1$a:\mathbb{N}\to \over...

実数の集合に正の無限大と負の無限大を加えた集合を考えよう．拡大実数の定義実数には，最大値と最小値が存在しない．ここでは逆に，実数に最大値と最小値を設定した集合を考えることにしよう．定義1$+\infty ,-\infty$を次の性質を満たす...

2階の導関数を調べることにより，関数のグラフの概形を掴もう．凸関数と凹関数関数の凹凸は，次のように厳密に定義される．定義1$I\subset \mathbb{R}$を開区間，$f:I\to \mathbb{R}$を関数とする．$a\in I...

実関数の微分を繰り返し行うことを考えよう．高次導関数の定義まず，$\mathbb{R}$の開区間上で定義された実関数の$n$回微分を定義する．定義1$I\subset \mathbb{R}$を開区間，$f:I\to \mathbb{R}$を...

数列の単調性と同様に，関数の単調性を考えることができる．関数の単調性$A$を$\mathbb{R}$の空でも1元集合でもない部分集合，$f:A\to \mathbb{R}$を関数とする．関数の単調性は，次の4つに分類できる．狭義単調増加$\...

微分積分学の様々な定理を証明する際に用いることになる平均値の定理について解説する．ロルの定理有界閉区間上の関数には微分係数が$0$になる点が存在する．定理1(ロルの定理(Rolle's theorem))$a,b$を$a<b$となる実数，$...

関数の増減を調べることは微分積分学の目的の1つである．関数の極値と微分の関係性について述べる．関数の極値高校数学ではその定義が曖昧であった｢極値｣は，次のように厳密に定義される．定義1$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合，$f...