微分積分学絶対値･三角不等式
微分や積分は極限を用いて定義され，極限は絶対値の不等式を用いて定義される．そのため，極限について考える場合は絶対値とその不等式評価が欠かせない．ここでは，絶対値の定義と，それに付随する重要な不等式である三角不等式について解説する．絶対値絶対...
解析学
微分積分学
微分積分学実数の大小関係
実数とは，ある17個の性質が成り立つ数の集合のことである．ここでは，そのうち大小関係に関わる6個の性質について詳しく扱う．実数の公理日本の数学教育においては，算数で正の整数や$0$，正の有理数，円周率を教わり，中学数学で負の整数や負の有理数...
微分積分学実数の四則演算
実数とは，ある17個の性質が成り立つ数の集合のことである．ここでは，そのうち四則演算に関わる10個の性質について詳しく扱う．実数の公理日本の数学教育においては，算数で正の整数や$0$，正の有理数，円周率を教わり，中学数学で負の整数や負の有理...
微分積分学区間縮小法 ～主張･証明を解説～
区間縮小法とは実数の閉区間を狭めていくと，やがて1つの実数にたどり着くという命題である．この記事では，直感的に正しそうなこの定理を数学的に厳密な証明を与える．区間縮小法の主張定理1(区間縮小法(nested intervals))任意の$n...
微分積分学有界単調数列の収束定理
数列の有界性と単調性は収束性と結びついている．この記事では，その関係を数学的に証明する．有界単調数列の収束定理の主張この記事での｢単調｣は，｢広義単調｣を指すものとして考えて問題ない．定理1(有界単調数列の収束定理)$\{ a_n\} _{...
微分積分学アルキメデスの原理 ～主張･証明を解説～
archimedean_propertyこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらからアルキメデスの原理とは，2つの正の実数があるとき，一方を何倍かすれば，必ずもう一方よりも大きくなるという命題です．アルキメデスの原理とは任意の正...
微分積分学数列の極限 ～ε-N論法の本質を徹底解説～
limit_of_sequenceこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらから数列の極限とは，$\varepsilon$-$N$論法によって厳密に定義される，解析学において非常に重要な概念です．数列の極限とは$\{ a_n\} ...
微分積分学区間 ～定義･イメージ･例を解説～
real_intervalこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらから区間とは，数直線の一部分を表す集合のことです．区間とは$a,b\in \mathbb{R}$とする．$a\le b$のとき\=\{ x\in \mathbb{...
微分積分学上限･下限 ～定義･イメージ･例を解説～
supremum-infimumこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらから上限とは，上界の最小値のことです．下限とは，下界の最大値のことです．上限･下限とは$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合とし，$A$の上界全...
微分積分学上界･下界 ～定義･イメージ･例を解説～
upper_bound-lower_bound-calculusこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらから上界とは，実数の部分集合のどの元よりも大きい実数のことです．下界とは，実数の部分集合のどの元よりも小さい実数のことです．...