微分積分学

2階の導関数を調べることにより，関数のグラフの概形を掴もう．凸関数と凹関数関数の凹凸は，次のように厳密に定義される．定義1$I\subset \mathbb{R}$を開区間，$f:I\to \mathbb{R}$を関数とする．$a\in I...

実関数の微分を繰り返し行うことを考えよう．高次導関数の定義まず，$\mathbb{R}$の開区間上で定義された実関数の$n$回微分を定義する．定義1$I\subset \mathbb{R}$を開区間，$f:I\to \mathbb{R}$を...

数列の単調性と同様に，関数の単調性を考えることができる．関数の単調性$A$を$\mathbb{R}$の空でも1元集合でもない部分集合，$f:A\to \mathbb{R}$を関数とする．関数の単調性は，次の4つに分類できる．狭義単調増加$\...

微分積分学の様々な定理を証明する際に用いることになる平均値の定理について解説する．ロルの定理有界閉区間上の関数には微分係数が$0$になる点が存在する．定理1(ロルの定理(Rolle's theorem))$a,b$を$a<b$となる実数，$...

関数の増減を調べることは微分積分学の目的の1つである．関数の極値と微分の関係性について述べる．関数の極値高校数学ではその定義が曖昧であった｢極値｣は，次のように厳密に定義される．定義1$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合，$f...

関数の和・差・積・商及び合成と微分の整合性を取り上げる．関数の和･定数倍と微分まず，微分の線形性について考えよう．すなわち，｢和の微分｣は｢微分の和｣であり，｢定数倍の微分｣は｢微分の定数倍｣である．定理1$I\subset \mathbb...

$\mathbb{R}$を定義域とし，$\mathbb{R}$を値域とする関数の微分を定義する．微分の定義ここでは，$\mathbb{R}$の開区間1上で定義された実関数の微分を定義する．定義1$I\subset \mathbb{R}$を開...

極限値を求めることなく数列の収束性を判定する方法として，コーシー列の概念を導入する．コーシー列定義1$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を数列とする．任意の$\varepsilon >0$に対し，ある$N\in \mathb...

実数を特徴づける部分列の最も重要な性質であるボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理の主張と証明を解説する．ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理定理1(ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理(Bolzano-Weierstrass theo...