有理数の稠密性

$x\ge 0$のとき$-x<1$である．
$x<0$のとき，アルキメデスの原理より，ある$m\in \mathbb{N}$が存在し，$-x<m$となる．
以上より，任意の$x\in \mathbb{R}$に対し，ある$N\in \mathbb{Z}$が存在し
\[ -x<N\tag{$\ast$}\]
となる．
このような$N$に対し，集合$S$を
\[ S=\{ n\in \mathbb{N}\mid N+x<n\} \]
により定めると，$N+x\in \mathbb{R}$より$S\neq \emptyset$であるから，$M=\min S\in \mathbb{N}$が存在する．
このとき，$(\ast)$より
\[ 0<N+x<M\]
であるから，$M-1\in \mathbb{N}\cup \{ 0\}$に注意すると
\[ M-1\le N+x<M\]
よって
\[ M-N-1\le x<M-N\]
であるから，$n=M-N-1$とすればよい．

次に，$n$の一意性を示す．$m\in \mathbb{N}$とする．
$m<n$のとき，$m+1\le n$であるから，$m\le n<m+1$を満たさない．
$m>n$のとき，$n<n+1\le m$であるから，$m\le n<m+1$を満たさない．$\blacksquare$

$y-x>0$であるから，アルキメデスの原理より，ある$m\in \mathbb{N}$が存在し
\[ m(y-x)>1\tag{$\ast$}\]
が成り立つ．
また，定理1より，ある$n\in \mathbb{N}$が存在し
\[ n-1\le mx<n\]
が成り立つ．
したがって$(\ast )$より
\[ mx<n\le mx+1<my\]
であるから
\[ x<\frac{n}{m}<y\]
が成り立つ．よって，$p=\dfrac{n}{m}$とすればよい．$\blacksquare$

数列$\{ x_n\} _{n=1}^{\infty}$を
\[ \begin{aligned}x_1&=k\quad \left( x\in \left[ [x]+\frac{k}{10},[x]+\frac{k+1}{10}\right) かつ0\le k\le 9となるk\in \mathbb{Z}\right) \\ x_{n+1}&=k\quad \left( x\in \left[ [x]+\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{10^i}+\frac{k}{10^{n+1}},[x]+\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{10^i}+\frac{k+1}{10^{n+1}}\right) かつ0\le k\le 9となるk\in \mathbb{Z}\right) \end{aligned}\]
により定めると，各々の$x\in \mathbb{R}$に対し$\{ x_n\} _{n=1}^{\infty}$は一意に定まる．
ここで，数列$\{ a_n\} _{n=0}^{\infty} ,\{ b_n\} _{n=0}^{\infty}$を
\[ a_0=[x],\quad a_n=a_{n-1}+\frac{x_n}{10^n}\quad (n\in \mathbb{N})\]
\[ b_n=a_n+\frac{1}{10^n}\quad (n\in \mathbb{N})\]
により定めると
\[ a_n=[x]+\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{10^i}\le x\le [x]+\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{10^i}+\frac{1}{10^n}=b_n\]
すなわち
\[ 0\le x-a_n\le b_n-a_n=\frac{1}{10^n}\]
であるから，はさみうちの原理より
\[ \lim _{n\to \infty}(x-a_n)=0\]
したがって
\[ \lim _{n\to \infty}a_n=x\]
を得る．$\blacksquare$