数学基礎論 論理演算の性質
命題の論理演算についての基本性質をまとめた．これらの性質は，論理記号を日本語で解釈することによって，直感的に理解することができる．この記事では，$P,Q,R$を命題とする．論理和･論理積の性質まず，直感的に成り立つのは当然のように思える性質...
大学数学
数学基礎論 
数学基礎論 命題
すべての数学の土台となる｢命題｣の論理についてまとめた．命題論理学における命題は，次のように説明される．定義11正しいか正しくないかが客観的に判断できる主張を命題(proposition)という．命題が正しいとき，その命題は真(true)で...
微分積分学 区間縮小法 ～主張･証明を解説～
区間縮小法とは実数の閉区間を狭めていくと，やがて1つの実数にたどり着くという命題である．この記事では，直感的に正しそうなこの定理を数学的に厳密な証明を与える．区間縮小法の主張定理1(区間縮小法(nested intervals))任意の$n...
微分積分学 有界単調数列の収束定理
数列の有界性と単調性は収束性と結びついている．この記事では，その関係を数学的に証明する．有界単調数列の収束定理の主張この記事での｢単調｣は，｢広義単調｣を指すものとして考えて問題ない．定理1(有界単調数列の収束定理)$\{ a_n\} _{...
微分積分学 アルキメデスの原理 ～主張･証明を解説～
archimedean_propertyこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらからアルキメデスの原理とは，2つの正の実数があるとき，一方を何倍かすれば，必ずもう一方よりも大きくなるという命題です．アルキメデスの原理とは任意の正...
微分積分学 数列の極限 ～ε-N論法の本質を徹底解説～
limit_of_sequenceこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらから数列の極限とは，$\varepsilon$-$N$論法によって厳密に定義される，解析学において非常に重要な概念です．数列の極限とは$\{ a_n\} ...
微分積分学 区間 ～定義･イメージ･例を解説～
real_intervalこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらから区間とは，数直線の一部分を表す集合のことです．区間とは$a,b\in \mathbb{R}$とする．$a\le b$のとき\=\{ x\in \mathbb{...
微分積分学 上限･下限 ～定義･イメージ･例を解説～
supremum-infimumこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらから上限とは，上界の最小値のことです．下限とは，下界の最大値のことです．上限･下限とは$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合とし，$A$の上界全...
微分積分学 上界･下界 ～定義･イメージ･例を解説～
upper_bound-lower_bound-calculusこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらから上界とは，実数の部分集合のどの元よりも大きい実数のことです．下界とは，実数の部分集合のどの元よりも小さい実数のことです．...
微分積分学 最大値･最小値 ～定義･イメージ･例を解説～
maximum-minimumこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらから最大値とは，実数の部分集合の元の中で，最も大きい元のことです．最小値とは，実数の部分集合の元の中で，最も小さい元のことです．最大値･最小値とは$A$を$\...