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代数学

ベクトル空間の和と直和

ベクトル空間の和定義1$n\in \mathbb{N}$,$V$を$\mathbb{C}$上のベクトル空間,$W_1,W_2,\dots ,W_n$を$V$の部分空間とする.\を$W_1,W_2,\dots ,W_n$の和(sum)(または...
代数学

正方行列のジョルダン標準形

当サイトでは,ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています.初学者の方には,以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています.まずは,具体的な計算を通して,ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます.2次正方行列については,以下の...
代数学

冪零行列のジョルダン標準形

当サイトでは,ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています.初学者の方には,以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています.まずは,具体的な計算を通して,ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます.2次正方行列については,以下の...
代数学

3次正方行列のジョルダン標準形

当サイトでは,ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています.初学者の方には,以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています.まずは,具体的な計算を通して,ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます.2次正方行列については,以下の...
代数学

2次正方行列のジョルダン標準形

当サイトでは,ジョルダン標準形を複数の記事で解説しています.初学者の方には,以下の順番で記事を読んでいただくことを強く推奨しています.まずは,具体的な計算を通して,ジョルダン標準形の概念とその求め方を掴みます.2次正方行列については,この記...
微分積分学

拡大実数の点列の極限

実数列の極限を拡大実数上に拡張すると,極限の性質はより強力なものになる.拡大実数の点列と極限の定義$\overline{\mathbb{R}}$上で極限を定義するために,次の概念を導入する.定義1$a:\mathbb{N}\to \over...
微分積分学

拡大実数

実数の集合に正の無限大と負の無限大を加えた集合を考えよう.拡大実数の定義実数には,最大値と最小値が存在しない.ここでは逆に,実数に最大値と最小値を設定した集合を考えることにしよう.定義1$+\infty ,-\infty$を次の性質を満たす...
代数学

生成系

群の元の構造を捉えるために,群の生成という概念を導入する.生成系定義1$G$を群,$S\subset G$,$g\in G$とする.ある$n\in \mathbb{N}$と$x_1,x_2,\dots ,x_n\in S$が存在して\と表さ...
微分積分学

関数の凹凸

2階の導関数を調べることにより,関数のグラフの概形を掴もう.凸関数と凹関数関数の凹凸は,次のように厳密に定義される.定義1$I\subset \mathbb{R}$を開区間,$f:I\to \mathbb{R}$を関数とする.$a\in I...
微分積分学

高次導関数

実関数の微分を繰り返し行うことを考えよう.高次導関数の定義まず,$\mathbb{R}$の開区間上で定義された実関数の$n$回微分を定義する.定義1$I\subset \mathbb{R}$を開区間,$f:I\to \mathbb{R}$を...
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