この記事では，2025年11月16日(日)に実施された，｢第36回 日本数学オリンピック 予選｣の第1問の解答を紹介･解説しています．解答はすべて筆者によるものであり，｢公益財団法人 数学オリンピック財団｣によるものではありません．
問題については，以下のリンク(公益財団法人 数学オリンピック財団)から閲覧してください(問題の著作権は数学オリンピック財団に帰属します)．
第1問は数論(N)の問題です．正の整数の$20$乗がいかに大きい数であるかをイメージして，不等式による絞り込みができるかどうかがポイントです．
$a^{20}$はかなり大きい数になることが予想される．実際，$a\ge 2$のとき
\[ a^{20}\ge 2^{20}>2^{11}=2048>2026\]
であるから
\[ a^{20}+b^2+c^6>2026\]
となる．よって，$a=1$が必要となる．すると，与式は
\[ b^2+c^6=2025\]
と変形することができる．
次に，やはり$c^6$は大きい数になると思われるので，$c$について考える．$c\ge 4$のとき
\[ c^6\ge 4^6=2^{12}>2^{11}=2048>2025\]
であるから
\[ b^2+c^6>2025\]
となる．よって，$c$としてありうる値は$1,2,3$である．
ここまで来たら，場合分けをして考えよう．
- $c=1$のとき，与式は
\[ b^2=2024\]
と変形できる．$2024=2^3\times 11\times 23$は平方数でないから不適． - $c=2$のとき，与式は
\[ b^2=1961\]
と変形できる．$1961=37\times 53$は平方数でないから不適． - $c=3$のとき，与式は
\[ b^2=1296=36^2\]
と変形できる．よって，$b=36$である．
以上より，求める正の整数の組は$(1,36,3)$である．
ここまでの議論を簡潔に整理すると，次のようになる．
$a\ge 2$のとき
\[ a^{20}\ge 2^{20}>2^{11}=2048>2026\]
であるから，$a=1$
また，$c\ge 4$のとき
\[ c^6\ge 4^6=4096>2026\]
であるから，$c$としてありうる値は$1,2,3$
- $c=1$のとき，与式は
\[ b^2=2024\]
となり，これをみたす正の整数$b$は存在しない． - $c=2$のとき，与式は
\[ b^2=1961\]
となり，これをみたす正の整数$b$は存在しない． - $c=3$のとき，与式は
\[ c^2=1296=36^2\]
となり，これをみたす正の整数$b$は$36$である．
以上より，求める正の整数の組は
\[ \color{red}(a,b,c)=(1,36,3)\]
参考文献
- 公益財団法人 日本数学オリンピック財団, https://www.imojp.org(最終閲覧日は当記事の最終更新日です).