体の定義
体では，環と同様に2つの演算を考える．この記事では，集合$S$上の二項演算$\phi ,\psi$を
\[ a+b\coloneqq \phi (a,b),\quad ab\coloneqq \psi (a,b)\quad (a,b\in S)\]
で表すことにする．
体の定義には環やその周辺の概念についての定義の理解が欠かせない．詳しくは以下の記事を参照するとよい．
この記事を含め，｢群論･環論･体論｣カテゴリーの記事では，｢和｣，｢積｣，｢$0$｣，｢$1$｣といった用語や記号などは一般の集合上の演算に対して用いることとする．通常の($\mathbb{C}$上の)｢和｣，｢積｣，｢$0$｣，｢$1$｣とは異なる概念を表していることに注意が必要である．
$K$を二項演算$\phi ,\psi$に関する環とする．次の条件を満たすとき，$K$を$\phi ,\psi$に関する可除環(division ring, Divisionsring)(または斜体(または歪体)(skew field))(または多元体(または可除多元環)(division algebra))という．
- 任意の$0$でない$a\in K$が$\psi$に関して可逆元である．
$K$が可除環かつ可換環であるとき，$K$を体(または可換体)(field)という．
また，$K$が可除環かつ非可換環であるとき，$K$を非可換体(non-commutative field)(または斜体(skew field))という．
｢斜体｣は定義1の｢可除環｣を指す流儀と，定義2の｢非可換体｣を指す流儀がある．混同を避けるため，当サイトでは｢可除環｣と｢非可換体｣という語を用いることとする．
体の例
$\mathbb{Q,R,C}$は通常の加法と乗法に関する体である．
例えば，$\mathbb{Q}$は次の2つの条件
- $\mathbb{Q}$は通常の加法と乗法について可換環である．
- 任意の$0$でない$a\in \mathbb{Q}$に対し，$\dfrac{1}{a}\in \mathbb{Q}$であり，$a\cdot \dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{a}\cdot a=1$となる．
をすべて満たすから，通常の加法と乗法に関して体である．
特に，$\mathbb{Q}$を有理数体(field of rational number)，$\mathbb{R}$を実数体(field of real numbers)，$\mathbb{C}$を複素数体(field of complex numbers)という．
$\{ 0,1\}$上の二項演算$\phi ,\psi$を
\[ 0+0=1+1=0,\quad 0+1=1+0=1\]
\[ 0\times 0=0\times 1=1\times 0=0,\quad 1\times 1=1\]
により定めるとき，$\{ 0,1\}$は次の2つの条件
- $\{ 0,1\}$は$\phi ,\psi$について可換環である($\phi$の単位元は$0$，$\psi$の単位元は$1$)．
- $1$は演算$\psi$について可逆元である($1$の逆元は$1$)．
をすべて満たすから，$\phi$と$\psi$に関して体である．特に，二元体という．