群の構造を捉えるために，群の間の写像を考えよう．
群の準同型と同型
群は演算が備わった集合である．そこで，集合として対応しているだけでなく，演算についても整合しているとき，2つの群を同一視することにしよう．
$G_1,G_2$を群，$f:G_1\to G_2$を写像とする．
- 任意の$x,y\in G_1$に対して，$f(xy)=f(x)f(y)$が成り立つとき，$f$を群の準同型写像(または単に準同型)(homomorphism)といい，$G_1$と$G_2$は準同型(homomorphic)であるという．
- 準同型写像$f$が全単射であるとき，$f$を群の同型写像(または単に同型)(isomorphism)という．このとき，$G_1$と$G_2$は同型(isomorphic)であるといい，$G_1\cong G_2$で表す．
群の準同型の基本的な性質を確認しよう．
$G_1,G_2$を群，$f:G_1\to G_2$を写像とする．
$f$が群の同型であるとき，$f^{-1}:G_2\to G_1$は群の準同型である．
任意の$a_2,b_2\in G_2$に対して，$f$は全射であるから，ある$a_1,b_1\in G_1$が存在して，$f(a_1)=a_2,f(b_1)=b_2$となる．このとき
\[ \begin{aligned}f^{-1}(a_2b_2)&=f^{-1}(f(a_1)f(b_1))\\ &=f^{-1}(f(a_1b_1))\\ &=a_1b_1\\ &=f^{-1}(a_2)f^{-1}(b_2)\end{aligned}\]
が成り立つから，$f^{-1}$は群の準同型である．$\blacksquare$
$G_1,G_2$を群，$f:G_1\to G_2$を群の準同型とする．
- $f(e_{G_1})=e_{G_2}$
- 任意の$g\in G$に対して，$f(g^{-1})=(f(g))^{-1}$が成り立つ．
- \[ f(e_{G_1})f(e_{G_1})=f(e_{G_1}e_{G_1})=f(e_{G_1})\]
であるから，両辺に左から$(f(e_{G_1}))^{-1}$を掛けると，$f(e_{G_1})=e_{G_2}$を得る．$\blacksquare$ - ①より
\[ f(g)f(g^{-1})=f(gg^{-1})=f(e_{G_1})=e_{G_2}\]
であるから，$f(g^{-1})=(f(g))^{-1}$を得る．$\blacksquare$
$G_1,G_2$を群，$S\subset G_1$，$f_1,f_2:G_1\to G_2$を準同型写像とする．
$S$が$G_1$の生成系であり，任意の$x\in S$に対して
\[ f_1(x)=f_2(x)\]
が成り立つならば，$f_1=f_2$である．
任意の$a\in G_1$に対して，ある$n\in \mathbb{N}$とある$x_1,x_2,\dots ,x_n\in S$が存在して
\[ a=x_1^{\pm 1}x_2^{\pm 1}\dots x_n^{\pm 1}\]
と表される．このとき
\[ \begin{aligned}f_1(a)&=f_1(x_1^{\pm 1}x_2^{\pm 1}\dots x_n^{\pm 1})\\ &=(f_1(x_1))^{\pm 1}(f_1(x_2))^{\pm 1}\dots (f_1(x_n))^{\pm 1}\\ &=(f_2(x_1))^{\pm 1}(f_2(x_2))^{\pm 1}\dots (f_2(x_n))^{\pm 1}\\ &=f_2(x_1^{\pm 1}x_2^{\pm 1}\dots x_n^{\pm 1})\\ &=f_2(a)\end{aligned}\]
であるから，$f_1=f_2$を得る．$\blacksquare$
群の準同型の核と像
群の準同型についても，核と像を定義することができる．
$G_1,G_2$を群，$f:G_1\to G_2$を群の準同型とする．
- $\{ g\in G_1\mid f(g)=e_{G_2}\}$を$f$の核(kernel)といい，$\operatorname{Ker}(f)$で表す．
- $\{ f(g)\mid g\in G_1\}$を$f$の像(image)といい，$\operatorname{Im}(f)$で表す．
$G_1,G_2$を群，$f:G_1\to G_2$を群の準同型とするとき，$\operatorname{Ker}(f)$は$G_1$の部分集合であり，$\operatorname{Im}(f)$は$G_2$の部分集合であることに注意すると，次が成り立つ．
$G_1,G_2$を群，$f:G_1\to G_2$を群の準同型とする．
- $\operatorname{Ker}(f)$は$G_1$の部分群である1．
- $\operatorname{Im}(f)$は$G_2$の部分群である．
- 任意の$g,h\in \operatorname{Ker}(f)$に対して，$f(g)=f(h)=e_{G_2}$より
\[ \begin{aligned}f(gh{-1})&=f(g)f(h^{-1})=f(g)(f(h))^{-1}\\ &=e_{G_2}e_{G_2}^{-1}=e_{G_2}\end{aligned}\]
が成り立つから，$gh^{-1}\in \operatorname{Ker}(f)$
したがって，$\operatorname{Ker}(f)$は$G_1$の部分群である．$\blacksquare$ - 任意の$g,h\in \operatorname{Im}(f)$に対して，ある$g^{\prime},h^{\prime}\in G_1$が存在して，$g=f(g^{\prime})$かつ$h=f(h^{\prime})$となるから
\[ \begin{aligned}gh^{-1}&=f(g^{\prime})(f(h^{\prime}))^{-1}\\ &=f(g^{\prime})f((h^{\prime})^{-1})\\ &=f(g^{\prime}(h^{\prime})^{-1})\end{aligned}\]
より，$g^{\prime}(h^{\prime})^{-1}\in G_1$であるから，$gh^{-1}\in \operatorname{Im}(f)$
したがって，$\operatorname{Im}(f)$は$G_2$の部分群である．$\blacksquare$
また，準同型写像の単射性は次のように言い換えることができる．
$G_1,G_2$を群，$f:G_1\to G_2$を準同型写像とする．
$f$が単射であることと$\operatorname{Ker}f=\{ e_{G_1}\}$であることは同値である．
$a\in G_1$が
\[ f(a)=f(e_{G_1})=e_{G_2}\]
を満たすとき，$f$が単射ならば，$a=e_{G_1}$となる．よって，$\operatorname{Ker}f=\{ e_{G_1}\}$である．
逆にこのとき，$a,b\in G_1$が$f(a)=f(b)$を満たすならば
\[ \begin{aligned}&f(ab^{-1})=f(a)(f(b))^{-1}\\ =&f(a)(f(a))^{-1}=e_{G_2}\end{aligned}\]
となるから，$ab^{-1}\in \operatorname{Ker}f$である．よって
\[ ab^{-1}=e_{G_1}\]
であるから，両辺に右から$b$を掛けて$a=b$を得る．すなわち，$f$は単射である．$\blacksquare$
準同型写像の例
群の準同型は，複数の群の関係を示す重要な概念である．いくつか具体例を取り上げる．
$G$を群，$H$を$G$の部分群とする．
包含写像$\rho :H\to G$2は準同型写像である．
実際，任意の$a,b\in H$に対して
\[ \rho (a)\rho (b)=ab=\rho (ab)\]
が成り立つ．
$G$を群，$g\in G$とする．
写像$f:\mathbb{Z}\to G$を
\[ f(n)=g^n\quad (n\in \mathbb{Z})\]
により定めるとき，$f$は準同型写像である3．
実際，任意の$m,n\in \mathbb{Z}$に対して
\[ f(m)f(n)=g^mg^n=g^{m+n}=f(m+n)\]
が成り立つ．
$n\in \mathbb{N}$とする．
行列式を与える写像$\mathrm{det}:\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}^{\times}$6は準同型写像である．
実際，任意の$A,B\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$に対して
\[ (\operatorname{det}A)(\operatorname{det}B)=\operatorname{det}(AB)\]
が成り立つ．