実数の集合に正の無限大と負の無限大を加えた集合を考えよう．
拡大実数の定義
実数には，最大値と最小値が存在しない．ここでは逆に，実数に最大値と最小値を設定した集合を考えることにしよう．
$+\infty ,-\infty$を次の性質を満たすものとする．
任意の$x\in \mathbb{R}$に対して，$-\infty <x<+\infty$が成り立つ．
このとき，$\mathbb{R}\cup \{ +\infty ,-\infty \}$を拡大実数(extended real number)(またはアフィン拡大実数(affinely extended real number)，補完数直線(extended real line))といい，$\overline{\mathbb{R}}$(または$[-\infty ,+\infty ]$)で表す．
$+\infty$は$\infty$で表すこともある．
任意の$x\in \overline{\mathbb{R}}$に対して，$-\infty \le x\le +\infty$が成り立つ．
上界と下界
拡大実数上で，集合の上界と下界を考えよう．
$A\subset \overline{\mathbb{R}}$，$M,m\in \overline{\mathbb{R}}$とする．
- 任意の$a\in A$に対して，$a\le M$が成り立つとき，$M$を$A$の上界(upper bound)という．
- 任意の$a\in A$に対して，$a\ge m$が成り立つとき，$m$を$A$の下界(lower bound)という．
- $A=\mathbb{N}\cup \{ +\infty\}$とすると，$+\infty$は$A$の上界であり，$1$以下の実数と$-\infty$は$A$の下界である．
- $B=\left\{ -\dfrac{1}{x}\ \middle| \ 0<x<1\right\} \cup \{ -\infty \}$とすると，$1$以上の実数と$+\infty$は$B$の上界であり，$-\infty$は$B$の下界である．
拡大実数の部分集合が持つ性質として，次が成り立つ．
任意の$A\in \overline{\mathbb{R}}$に対して，$+\infty$は$A$の上界，$-\infty$は$A$の下界である．
任意の$a\in A$に対して，$A\subset \overline{\mathbb{R}}$より$a\in \overline{\mathbb{R}}$であるから
\[ -\infty \le a\le +\infty \]
が成り立つ．したがって，$+\infty$は$A$の上界，$-\infty$は$A$の下界である．$\blacksquare$
命題1により，任意の$\overline{\mathbb{R}}$の部分集合は上界と下界を持つ．
上限と下限
実数の部分集合については，その上限と下限が存在しない場合があった．しかし，拡大実数の部分集合については，その上限と下限が必ず存在する．
任意の$A\subset \overline{\mathbb{R}}$に対して，$A$の上界全体の集合$U(A)$の最小元，$A$の下界全体の集合$L(A)$の最大元が存在する．
まず，$\min U(A)$が存在することを示す．
$A\cap \mathbb{R}=\emptyset$のとき，
$A$が$\emptyset$または$\{ -\infty\}$ならば，$U(A)=\overline{\mathbb{R}}$であるから，$\min U(A)=-\infty$
$A$が$\{ +\infty \}$または$\{ \pm \infty\}$ならば，$U(A)=\{ +\infty\}$であるから，$\min U(A)=+\infty$
$A\cap \mathbb{R}\neq \emptyset$のとき，
$+\infty \not\in A$かつ，$A\setminus \{ \pm \infty \}$が$\mathbb{R}$において上に有界であるとき，連続の公理より$\sup A\in \mathbb{R}$が存在する．これは，$\min U(A)$が存在することに他ならない．
$+\infty \in A$または，$A\setminus \{ \pm \infty \}$が$\mathbb{R}$において上に有界でないとき，$U(A)=\{ +\infty\}$であるから，$\min U(A)=+\infty$
以上より，いずれの場合も$\min U(A)$が存在する．
次に，$\max L(A)$が存在することを示す．
$A\cap \mathbb{R}=\emptyset$のとき，
$A$が$\emptyset$または$\{ +\infty\}$ならば，$L(A)=\overline{\mathbb{R}}$であるから，$\max L(A)=+\infty$
$A$が$\{ -\infty \}$または$\{ \pm \infty\}$ならば，$L(A)=\{ -\infty\}$であるから，$\max L(A)=-\infty$
$A\cap \mathbb{R}\neq \emptyset$のとき，
$-\infty \not\in A$かつ，$A\setminus \{ \pm \infty \}$が$\mathbb{R}$において下に有界であるとき，連続の公理より$\inf A\in \mathbb{R}$が存在する．これは，$\max L(A)$が存在することに他ならない．
$-\infty \in A$または，$A\setminus \{ \pm \infty \}$が$\mathbb{R}$において下に有界でないとき，$L(A)=\{ -\infty\}$であるから，$\max L(A)=-\infty$
以上より，いずれの場合も$\max L(A)$が存在する．$\blacksquare$
命題2より，拡大実数上の上限と下限を定義できる．
$A\subset \overline{\mathbb{R}}$，$U(A)$を$A$の上界全体の集合，$L(A)$を$A$の下界全体の集合とする．
- $\min U(A)$を$A$の上限(supremum)(または最小上界(least upper bound))といい，$\sup A$(または$\operatorname{lub}A$)で表す．
- $\max L(A)$を$A$の下限(infimum)(または最大下界(greatest lower bound))といい，$\inf A$(または$\operatorname{glb}A$)で表す．
- $A=\mathbb{N}\cup \{ +\infty\}$とすると
\[ \sup A=+\infty ,\quad \inf A=1\] - $B=\left\{ -\dfrac{1}{x}\ \middle| \ 0<x<1\right\} \cup \{ -\infty \}$とすると
\[ \sup A=1,\quad \inf A=-\infty \]
上限と下限は，次のように言い換えることができる．
$A\subset \overline{\mathbb{R}}$，$b\in \overline{\mathbb{R}}$とする．
次の2つの命題は同値である．
- $b=\sup A$
- $b$は次の2つの条件を満たす．
- 任意の$a\in A$に対して，$a\le b$が成り立つ．
- 任意の$x\in \overline{\mathbb{R}}$に対して，$x<b$ならば，ある$a\in A$が存在して，$x<a$となる．
$U(A)$を$A$の上界全体の集合とする．
①$\implies$②を示す．
まず，$b\in U(A)$であるから，任意の$a\in A$に対して，$a\le b$が成り立つ．
また，ある$x\in \overline{\mathbb{R}}$が存在して，$x<b$かつ任意の$a\in A$に対して$a\le x$が成り立つと仮定すると，$x\in U(A)$であるが，これは$b$の最小性に矛盾する．よって，任意の$x\in \overline{\mathbb{R}}$に対して，$x<b$ならば，ある$a\in A$が存在して，$x<a$となる．
したがって，②が成り立つ．
②$\implies$①を示す．
まず，明らかに$b\in U(A)$が成り立つ．
また，ある$x\in U(A)$が存在して，$x<b$となるとすると，ある$a\in A$が存在して，$x<a$となる．これは，$x\in U(A)$に矛盾する．よって，任意の$x\in U(A)$に対して，$x\ge b$が成り立つ．
したがって，①が成り立つ．$\blacksquare$
$A\subset \overline{\mathbb{R}}$，$b\in \overline{\mathbb{R}}$とする．
次の2つの命題は同値である．
- $b=\inf A$
- $b$は次の2つの条件を満たす．
- 任意の$a\in A$に対して，$a\ge b$が成り立つ．
- 任意の$x\in \overline{\mathbb{R}}$に対して，$x>b$ならば，ある$a\in A$が存在して，$x>a$となる．
$L(A)$を$A$の下界全体の集合とする．
①$\implies$②を示す．
まず，$b\in L(A)$であるから，任意の$a\in A$に対して，$a\ge b$が成り立つ．
また，ある$x\in \overline{\mathbb{R}}$が存在して，$x>b$かつ任意の$a\in A$に対して$a\ge x$が成り立つと仮定すると，$x\in L(A)$であるが，これは$b$の最大性に矛盾する．よって，任意の$x\in \overline{\mathbb{R}}$に対して，$x>b$ならば，ある$a\in A$が存在して，$x>a$となる．
したがって，②が成り立つ．
②$\implies$①を示す．
まず，明らかに$b\in L(A)$が成り立つ．
また，ある$x\in LA)$が存在して，$x>b$となるとすると，ある$a\in A$が存在して，$x>a$となる．これは，$x\in L(A)$に矛盾する．よって，任意の$x\in L(A)$に対して，$x\le b$が成り立つ．
したがって，①が成り立つ．$\blacksquare$