自己同型

群の同型の概念は，2つの群の構造を同一視するものである．特に，自身の群への同型写像を考えることは重要である．

定義1

$G$を群とする．

$G$から$G$への同型写像を自己同型(または自己同型写像)(automorphism)という．

例1

$G$を群とする．

恒等写像$\mathrm{id}_G:G\to G$は$G$の自己同型である．

例1の自己同型には名前がついている．

定義2

群の恒等写像を自明な自己同型(trivial automorphism)という．
自明な自己同型でない群の自己同型を非自明な自己同型(nontrivial automorphism)という．

群の自己同型全体の集合は群である．

補題1

$G$を群，$\operatorname{Aut}G$を$G$の自己同型全体の集合とする．

$\operatorname{Aut}G$上の演算を
\[ \phi \psi =\phi \circ \psi \quad (\phi ,\psi \in \operatorname{Aut}G)\]
により定めるとき，$\operatorname{Aut}G$は群である．

補題1の証明

$f,g\in \operatorname{Aut}G$を任意にとる．

$fg\in \operatorname{Aut}G$であることを示す．
- 任意の$a,b\in G$に対して
  \[ \begin{aligned}&(fg)(ab)=f(g(ab))=f(g(a)g(b))\\ =&f(g(a))f(g(b))=(fg)(a)\cdot (fg)(b)\end{aligned}\]
  が成り立つから，$fg$は準同型写像である．
- $f$は全射であるから，任意の$a\in G$に対して，ある$b\in G$が存在して，$f(b)=a$となる．
  $g$は全射であるから，ある$c\in G$が存在して，$g(c)=b$となる．
  よって
  \[ (fg)(c)=f(g(c))=f(b)=a\]
  であるから，$fg$は全射である．
- 任意の$a,b\in G$に対して，$a\neq b$ならば，$g$は単射であるから，$g(a)\neq g(b)$
  $f$は単射であるから，$f(g(a))\neq f(g(b))$
  よって，$(fg)(a)\neq (fg)(b)$であるから，$fg$は単射である．
写像の合成に関して結合律が成り立つ．
\[ f\mathrm{id}_G=\mathrm{id}_Gf=f\]
であるから，$\mathrm{id}_G\in \operatorname{Aut}G$は単位元である．
$f^{-1}\in \operatorname{Aut}G$であり
\[ ff^{-1}=f^{-1}f=\mathrm{id}_G\]
であるから，$f^{-1}$は$f$の逆元である．

以上より，$\operatorname{Aut}G$は群である．$\blacksquare$

定義3

$G$を群とする．

$G$の自己同型全体の集合を$G$の自己同型群(automorphism group)といい，$\operatorname{Aut}G$で表す．

内部自己同型

特に重要な自己同型として，次の写像がある．

補題2

$G$を群，$g\in G$とする．

写像$\phi _g:G\to G$を
\[ \phi _g(h)=ghg^{-1}\quad (h\in G)\]
により定めるとき，$\phi _g$は$G$の自己同型である．

補題2の証明

任意の$a,b\in G$に対して
\[ \begin{aligned}\phi _g(ab)&=gabg^{-1}\\ &=gag^{-1}gbg^{-1}\\ &=\phi _g(a)\phi _g(b)\end{aligned}\]
が成り立つから，$\phi _g$は準同型写像である．
任意の$a\in G$に対して，$g^{-1}ag\in G$であり
\[ \phi _g(g^{-1}ag)=gg^{-1}agg^{-1}=a\]
であるから，$\phi _g$は全射である．
任意の$a,b\in G$に対して，$\phi _g(a)=\phi _g(b)$ならば
\[ gag^{-1}=gbg^{-1}\]
であるから，両辺に左から$g^{-1}$，右から$g$を掛けると$a=b$となるから，$\phi _g$は単射である．

以上より，$\phi _g$は自己同型である．$\blacksquare$

定義4

$G$を群，$g,h_1,h_2\in G$とする．

写像$\phi _g:G\to G$が
\[ \phi _g(h)=ghg^{-1}\quad (h\in G)\]
により定まるとき，$\phi$を$G$の内部自己同型(inner automorphism)という．
内部自己同型でない$G$の自己同型を$G$の外部自己同型(outer automorphism)という．
ある$g\in G$が存在して
\[ h_1=gh_2g^{-1}\]
となるとき，$h_1$と$h_2$は共役(conjugate)であるという．

可換群は，内部自己同型を特徴づける．

命題1

$G$を可換群，$g\in G$とする．

$G$の内部自己同型は恒等写像のみである．
$g$と共役な$G$の元は$g$のみである．

命題1の証明

$\phi _g:G\to G$を$G$の内部自己同型
\[ \phi _g(h)=ghg^{-1}\quad (h\in G)\]
とする．$G$は可換群であるから，任意の$h\in G$に対して
\[ \phi _g(h)=ghg^{-1}=gg^{-1}h=h\]
したがって，$\phi _g$は恒等写像である．$\blacksquare$
$h_1,h_2\in G$が共役であるならば，ある$g\in G$が存在して
\[ h_1=gh_2g^{-1}\]
となる．$G$は可換群であるから
\[ h_1=gh_2g^{-1}=gg^{-1}h_2=h_2\]
よって，$h_1$と共役な$G$の元は$h_1$である．$\blacksquare$

命題2

$G$を群，$g\in G$，写像$\phi _g:G\to G$を
\[ \phi _g(h)=ghg^{-1}\quad (h\in G)\]
で定める．

写像$\psi G\to \operatorname{Aut}G$を
\[ \psi (g)=\phi _g\quad (g\in G)\]
により定めるとき，$\psi$は準同型写像である．

命題2の証明

任意の$a,b,g\in G$に対して
\[ \begin{aligned}&(\psi (a)\psi (b))(g)\\ =&(\phi _a\phi _b)(g)=\phi _a(bgb^{-1})\\ =&abgb^{-1}a^{-1}=(ab)g(ab)^{-1}\\ =&\phi _{ab}(g)=\psi (ab)(g)\end{aligned}\]
が成り立つから，$\psi$は準同型写像である．$\blacksquare$

群の内部自己同型全体の集合もまた群になる．

補題3

$G$を群，$\operatorname{Inn}G$を$G$の内部自己同型全体の集合とする．

$\operatorname{Inn}G$は$\operatorname{Aut}G$の部分群である¹．

補題3の証明

任意の$\phi ,\psi \in \operatorname{Inn}G$に対して，ある$g,h\in G$が存在して
\[ \phi (a)=gag^{-1}\quad (a\in G)\\ \psi (a)=hah^{-1}\quad (a\in G)\]
となる．このとき
\[ \psi ^{-1}(b)=h^{-1}bh\quad (b\in G)\]
であり，任意の$a\in G$に対して
\[ \begin{aligned}(\phi \psi ^{-1})(a)&=\phi (\psi ^{-1}(a))=\phi (h^{-1}ah)\\ &=hh^{-1}ahh^{-1}=a\end{aligned}\]
が成り立つから
\[ \phi \psi ^{-1}\in \operatorname{Inn}G\]
よって，$\operatorname{Inn}G$は$\operatorname{Aut}G$の部分群である．$\blacksquare$

定義5

$G$を群とする．

$G$の内部自己同型全体の集合を$G$の内部自己同型群(inner automorphism group)といい，$\operatorname{Inn}G$で表す．

さらに言えば，$\operatorname{Inn}G$は$\operatorname{Aut}G$の正規部分群である． ↩︎