正規部分群

$G$を可換群，$H$を$G$の部分群とする．

任意の$g\in G$と任意の$h\in H$に対して
\[ ghg^{-1}=gg^{-1}h=h\in H\]
が成り立つから，$H\triangleleft G$である．$\blacksquare$

$\phi \in \operatorname{Aut}G$と$\psi \in \operatorname{inn}G$を任意にとると，ある$g\in G$が存在して
\[ \psi (h)=ghg^{-1}\quad (h\in G)\]
となる．このとき，任意の$x\in G$に対して
\[ \begin{aligned}(\phi \psi \phi ^{-1})(x)&=\phi (\psi (\phi ^{-1}(x)))\\ &=\phi (g\phi ^{-1}(x)g^{-1})\\ &=\phi (g)\phi (\phi ^{-1}(g))\phi (g)^{-1}\\ &=g\end{aligned}\]
であるから
\[ \phi \psi \phi ^{-1}\in \operatorname{Inn}G\]
となる．

$\operatorname{Inn}G$は$\operatorname{Aut}G$の部分群であるから¹，$\operatorname{Inn}G\triangleleft \operatorname{Aut}G$が従う．$\blacksquare$

任意の$a\in G_1$と任意の$b\in \operatorname{Ker}f$に対して
\[ \begin{aligned}f(aba^{-1})&=f(a)f(b)(f(a))^{-1}\\ &=f(b)=e\end{aligned}\]
が成り立つから
\[ aba^{-1}\in \operatorname{Ker}f\]
$\operatorname{Ker}f$は$G_1$の部分群であるから²，$\operatorname{Ker}f\triangleleft G_1$である．$\blacksquare$

定義1より，いずれも必要性は明らかであるから，十分性を示せばよい．

任意の$h\in H$に対して，ある$n\in \mathbb{N}$と$y_1,y_2,\dots ,y_n\in T$が存在して
\[ h=y_1^{\pm 1}y_2^{\pm 1}\dots y_n^{\pm 1}\]
となる．

このとき，任意の$x\in S$に対して
\[ \begin{aligned}xhx^{-1}&=xy_1^{\pm 1}y_2^{\pm 1}\dots y_n^{\pm 1}x^{-1}\\ &=xy_1^{\pm 1}x^{-1}xy_2^{\pm 1}x^{-1}\dots xy_nx^{-1}\in H\end{aligned}\]
が成り立つから
\[ xHx^{-1}\coloneqq \{ xhx^{-1}\mid h\in H\} \subset H\]
また
\[ \begin{aligned}x^{-1}hx&=x^{-1}y_1^{\pm 1}y_2^{\pm 1}\dots y_n^{\pm 1}x\\ &=x^{-1}y_1^{\pm 1}xx^{-1}y_2^{\pm 1}x\dots x^{-1}y_nx\in H\end{aligned}\]
が成り立つから
\[ x^{-1}Hx\coloneqq \{ x^{-1}hx\mid h\in H\} \subset H\]

また，任意の$g\in G$に対して，ある$m\in \mathbb{N}$とある$x_1,x_2,\dots ,x_m\in S$が存在して
\[ g=x_1^{\pm 1}x_2^{\pm 2}\dots x_m^{\pm 1}\]
となる．このとき
\[ \begin{aligned}gHg^{-1}&=(x_1^{\pm 1}x_2^{\pm 2}\dots x_m^{\pm 1})H(x_1^{\pm 1}x_2^{\pm 2}\dots x_m^{\pm 1})^{-1}\\ &=(x_1^{\pm 1}x_2^{\pm 2}\dots x_{m-1}^{\pm 1})x_m^{\pm 1}H(x_m^{\pm 1})^{-1}(x_1^{\pm 1}x_2^{\pm 2}\dots x_{m-1}^{\pm 1})^{-1}\\ &\subset (x_1^{\pm 1}x_2^{\pm 2}\dots x_{m-1}^{\pm 1})H(x_1^{\pm 1}x_2^{\pm 2}\dots x_{m-1}^{\pm 1})^{-1}\\ &\subset (x_1^{\pm 1}x_2^{\pm 2}\dots x_{m-2}^{\pm 1})H(x_1^{\pm 1}x_2^{\pm 2}\dots x_{m-2}^{\pm 1})^{-1}\\ &\subset \dots \\ &\subset x_1^{\pm 1}H(x_1^{\pm 1})^{-1}\subset H\end{aligned}\]
であるから
\[ ghg^{-1}\in H\]
したがって，$H\triangleleft G$である．

特に，$G$が有限群であるとき，その位数を$k$とすると，任意の$x\in S$に対して，$x^k=e_G$であるから，$x^{-1}=x^{k-1}$
よって，任意の$x\in S$と任意の$y\in T$に対して，$xyx^{-1}\in H$であれば，$H\triangleleft G$が成り立つ．$\blacksquare$

$N$の定義より，$S\subset N$である．$n\in N$を任意にとる．

$N^{\prime}$を$S$を含む$G$の正規部分群とする．
ある$x\in G$とある$y\in S$が存在して
\[ n=xyx^{-1}\]
となる．このとき
\[ x^{-1}nx=x^{-1}xyx^{-1}x=y\in S\]
であり，$S\subset N^{\prime}$であるから
\[ x^{-1}nx\in N^{\prime}\]
$N^{\prime}$は$G$の正規部分群であるから
\[ n=xx^{-1}nxx^{-1}\in N^{\prime}\]
よって，$N\subset N^{\prime}$である．

任意の$g\in G$と任意の$a\in G$及び$b\in S$に対して
\[ aba^{-1}\in \{ xyx^{-1}\mid x\in G,y\in S\} \]
であり
\[ gaba^{-1}g^{-1}=(ga)b(ga)^{-1}\in N\]
であるから，定理2より，$N\triangleleft G$である．$\blacksquare$

$g\in G,n\in N$を任意にとる．

まず，必要性を示す．

$N\triangleleft G$であるから
\[ gng^{-1}\in N\]
$n_1=gng^{-1}$とおくと
\[ gn=n_1g\]
であるから，$gn\in Ng$
よって，$gN\subset Ng$である．

また，$N\triangleleft G$であるから
\[ g^{-1}ng\in N\]
$n_2=g^{-1}ng$とおくと
\[ ng=gn_2\]
であるから，$ng\in Ng$
よって，$Ng\subset gN$である．

以上より，$gN=Ng$である．

次に，十分性を示す．
$gn\in gN$であるから，$gN=Ng$より，ある$n^{\prime}\in N$が存在して
\[ gn=n^{\prime}g\]
となる．このとき
\[ gng^{-1}=n^{\prime}\in N\]
となるから，$N\triangleleft G$である．
$\blacksquare$

\[ G/N=\{ N,gN\} \]
とおく($N\neq gN$)．$x\in G$と$y\in N$を任意にとる．

$xy\in N$のとき，ある$n_1\in N$が存在して，$xy=n_1$となる．
よって，$x=n_1y^{-1}\in N$となるから
\[ xyx^{-1}\in N\]

$xy\in gN$のとき，ある$n_2\in N$が存在して，$xy=gn_2$となる．
よって，$x=gn_2y^{-1}\in gN$となるから
\[ xyx^{-1}=gn_2yn_2^{-1}g^{-1}\]
ここで，$xyx^{-1}\in gN$であると仮定すると，ある$n_3\in N$が存在して
\[ gn_2yn_2^{-1}g^{-1}=gn_3\]
となる．ゆえに
\[ g=n_3^{-1}n_2yn_2^{-1}\in N\]
であるから，$gN=N$となり矛盾．よって
\[ xyx^{-1}\in N\]

以上より，$N\triangleleft G$である．$\blacksquare$