ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理

$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を有界な数列とすると，ある$b,c\in \mathbb{R}$が存在し，任意の$n\in \mathbb{N}$に対し$a_n\in [b,c]$となる．

ここで，数列$\{ b_k\} _{k=1}^{\infty},\{ c_k\} _{k=1}^{\infty}$を
\[ \begin{dcases}b_1=b,\quad c_1=c&\\ b_{k+1}=b_k,\quad c_{k+1}=\frac{b_k+c_k}{2}&(a_n\in \left[ b_k,\frac{b_k+c_k}{2}\right] を満たすn\in \mathbb{N}が無数に存在する)\\ b_{k+1}=\frac{b_k+c_k}{2},\quad c_{k+1}=c_k&(a_n\in \left[ b_k,\frac{b_k+c_k}{2}\right] を満たすn\in \mathbb{N}が無数に存在しない)\end{dcases}\quad (k\in \mathbb{N})\]
により定め，区間の列$\{ I_k\} _{k=1}^{\infty}$を
\[ I_k=[b_k,c_k]\quad (k\in \mathbb{N})\]
により定める．

このとき，$\{ b_k\} _{k=1}^{\infty}$は広義単調増加数列，$\{ c_k\} _{k=1}^{\infty}$は広義単調減少数列であることを示す．
任意の$k\in \mathbb{N}$に対し
\[ b_k=\frac{b_k+b_k}{2}\le \frac{b_k+c_k}{2}\le \frac{c_k+c_k}{2}=c_k\]
であるから，$\{ b_k\} _{k=1}^{\infty}$は広義単調増加数列，$\{ c_k\} _{k=1}^{\infty}$は広義単調減少数列である．

また，任意の$k\in \mathbb{N}$に対し$b_k\le c_k$が成り立つことを$k$に関する数学的帰納法で示す．
$k=1$のとき$b_1=b\le c=c_1$より明らかに成り立つ．
$k=l$のとき$b_l\le c_l$が成り立つと仮定すると
\[ b_{l+1}\le \frac{b_l+c_l}{2}\le c_{l+1}\]
より$k=l+1$のときも成り立つ．
よって，示された．

さらに，任意の$k\in \mathbb{N}$に対し，$c_k-b_k=\dfrac{c-b}{2^{k-1}}\ge 0$が成り立つことを$k$に関する数学的帰納法で示す．
$k=1$のとき$c_1-b_1=c-b=\dfrac{c-b}{2^0}\ge 0$より成り立つ．
$k=l$のとき$c_l-b_l=\dfrac{c-b}{2^{l-1}}\ge 0$が成り立つと仮定すると，
$a_n\in \left[ b_l,\dfrac{b_l+c_l}{2}\right]$を満たす$n\in \mathbb{N}$が無数に存在するとき
\[ c_{l+1}-b_{l+1}=\frac{b_l+c_l}{2}-b_l=\frac{c_l-b_l}{2}=\frac{c-b}{2^l}\ge 0\]
$a_n\in \left[ b_l,\dfrac{b_l+c_l}{2}\right]$を満たす$n\in \mathbb{N}$が無数に存在しないとき
\[ c_{l+1}-b_{l+1}=c_l-\frac{b_l+c_l}{2}=\frac{c_l-b_l}{2}=\frac{c-b}{2^l}\ge 0\]
より$k=l+1$のときも成り立つ．
よって，示された．

したがって
\[ \bigcap _{n\in \mathbb{N}}I_n\neq \emptyset \]
\[ \lim _{k\to \infty}(c_k-b_k)=\lim _{k\to \infty}\frac{c-b}{2^{k-1}}=0\]
であるから，区間縮小法よりある$\alpha \in \mathbb{R}$が存在し
\[ \lim _{k\to \infty}b_k=\lim _{k\to \infty}c_k=\alpha \]
となる．

ここで，正の整数の狭義単調増加数列$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$を
\[ n_1=1,\quad n_{k+1}=\min \{ n\in \mathbb{N}\mid a_n\in [b_k,c_k]\land n>n_k\} \quad (k\in \mathbb{N})\]
により定めると，任意の$k\in \mathbb{N}$に対し
\[ b_k\le a_{n_k}\le c_k\]
が成り立つから，はさみうちの原理より
\[ \lim _{k\to \infty}a_{n_k}=\alpha \]
となる．よって$\{ a_{n_k}\} _{k=1}^{\infty}$は$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$の収束する部分列である．$\blacksquare$

まず，任意の数列$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$は，広義単調増加または広義単調減少である部分列を持つことを示す．

集合$S\subset \mathbb{N}$を次のように定める．
\[ S=\{ n\in \mathbb{N}\mid \forall m\in \mathbb{N},m>n\implies a_m<a_n\} \]

$S$が無限集合であるとき，正の整数の狭義単調増加数列$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$を
\[ n_1=\min S,\quad n_{k+1}=\min (S\cap \{ n\in \mathbb{N}\mid n>n_k\} )\]
により定めると，任意の$k\in \mathbb{N}$に対し
\[ a_{n_k}>a_{n_{k+1}}\]
が成り立つから，$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$の部分列$\{ a_{n_k}\}$は狭義単調減少数列である．

$S$が有限集合であるとき
\[ N=\max S\]
とおき，正の整数の狭義単調増加数列$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$を
\[ n_1=N+1,\quad n_{k+1}=\min \{ n\in \mathbb{N}\mid n>n_k\land a_n\ge a_{n_k}\} \]
により定めると，任意の$k\in \mathbb{N}$に対し
\[ a_{n_k}\le a_{n_{k+1}}\]
が成り立つから，$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$の部分列$\{ a_{n_k}\}$は広義単調増加数列である．

以上より，$\{ a_n\}$が有界であるとき，$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$は有界な広義単調増加または広義単調減少である部分列$\{ a_{n_k}\} _{k=1}^{\infty}$をもつから，有界単調数列の収束定理より，$\{ a_{n_k}\} _{k=1}^{\infty}$は収束する．$\blacksquare$