代数学正規部分群
剰余類は群構造を持つとは限らない．剰余類に群構造を入れる手段に一つとして，正規部分群を導入する．正規部分群定義1$G$を群，$H$を$G$の部分群とする．任意の$g\in G$と任意の$h\in H$に対して，$ghg^{-1}\in H$...
代数学
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代数学行列指数関数
指数関数指数関数について簡単に復習しておく．$a\in \mathbb{R}$と$n\in \mathbb{N}$に対して，$a^n$は次のように定義される．\より厳密には，次のように帰納的に定義される．\このとき，次の指数法則が成り立って...
代数学行列
線形代数学では行列と呼ばれる数学的対象を取り扱う．行列を考えることで，$n$次元ユークリッド空間の線形変換を機械的な計算で扱うことができるようになる．行列の導入高校数学では，ベクトルの成分表示を扱った．これは，$2$次元平面上のベクトルを2...
代数学ベクトル空間の基底と次元
ベクトル空間を特徴づける概念として，基底と次元を定義する．ベクトル空間の生成いくつかのベクトルが与えられたとき，それらの1次関係で表されるベクトル全体の集合はベクトル空間になる．補題1$n\in \mathbb{N}$，$K$を体，$V$を...
代数学基底の延長定理･基底の存在定理
零空間でない任意のベクトル空間に対して，基底が存在することを示す．基底の延長定理部分空間の基底にいくつかベクトルを付け加えることで，元のベクトル空間の基底を構成できる．定理1(基底の延長定理)$m,n\in \mathbb{N}$は$m<n...
代数学ベクトル空間の基底変換
ベクトル空間には様々な基底の取り方がある．任意のベクトルは基底の1次結合の形で表現できるが，基底を変えるとどのようになるのだろうか．ベクトル空間の基底と成分ベクトル空間の基底は，ベクトル空間に座標を設定することと等価である．座標を定めるには...
代数学商ベクトル空間
ベクトル空間とその部分空間が与えられたとき，部分空間を｢潰す｣ことにより，それまで異なるものとして扱っていたベクトルを，新たな尺度で同一視することができるようになる．これにより得られる集合はベクトル空間になる．商ベクトル空間の定義商ベクトル...
代数学線形写像
複数のベクトル空間が与えられたとき，それらの関係性を記述することは非常に重要である．この記事では，そのために必要な線形写像の概念についてまとめた．線形写像線形写像を定義するにあたって，写像に関する知識が必要となる．詳しくは，次の記事を参照す...
代数学群の元の位数
群の元に対しても，位数という用語を定義する．これを用いることで，$\mathbb{Z}$の部分群が$n\mathbb{Z}$のみであることを示すことができる．群の元の指数群の元の指数表記を，定義1のように帰納的に定める．定義1$G$を群，$...
代数学自己同型
群の同型の概念は，2つの群の構造を同一視するものである．特に，自身の群への同型写像を考えることは重要である．自己同型定義1$G$を群とする．$G$から$G$への同型写像を自己同型(または自己同型写像)(automorphism)という．例1...