重要な代数的構造の1つである環は，集合とその2つの演算について考える．
環の定義
環
環では2つの演算を考える．この記事では，集合$S$上の二項演算$\phi ,\psi$を
\[ a+b\coloneqq \phi (a,b),\quad ab\coloneqq \psi (a,b)\quad (a,b\in S)\]
で表すことにする．
環の定義には群やその周辺の概念についての定義の理解が欠かせない．詳しくは以下の記事を参照するとよい．
この記事を含め，｢群論･環論･体論｣カテゴリーの記事では，｢和｣，｢積｣，｢$0$｣，｢$1$｣といった用語や記号などは一般の集合上の演算に対して用いることとする．通常の($\mathbb{C}$上の)｢和｣，｢積｣，｢$0$｣，｢$1$｣とは異なる概念を表していることに注意が必要である．
$R$を集合，$\phi ,\psi$を二項演算とする．次の条件をすべて満たすとき，$R$を$\phi ,\psi$に関する環(ring)という．
- $R$は$\phi$に関して可換群である．
- $R$は$\psi$に関してモノイドである．
- (分配法則(distribution law)) 任意の$a,b,c\in R$に対し，$a(b+c)=ab+ac$，$(a+b)c=ac+bc$が成り立つ．
このとき，$x,y\in R$に対し，$x+y$を$x$と$y$の和(sum)といい，$xy$を$x$と$y$の積(product)という．また，和の単位元を$0_R$(または単に$0$)，積の単位元を$1_R$(または単に$1$)，$x\in R$の和の逆元を$-x$で表す．
環の定義には様々な流儀があり，定義1では，環は｢積に関してモノイドである｣ことを条件としていたが，これを｢積に関して半群である｣という条件に置き換える場合がある．また，ごくまれに｢積に関してマグマである｣という条件に置き換える場合もある．
この記事を含め，当サイトでは，特に断りのない限り定義1の流儀を採用することにする．
群に対して可換群が定義されているのと同様に，環に対しては可換環が定義されている．
環の積の可換性と可逆性
$R$を二項演算$\phi ,\psi$に関する環とする．次の条件を満たすとき，$R$を$\phi ,\psi$に関する可換環(commutative ring)という．
- (積の交換法則(commutative law)) 任意の$a,b\in R$に対し，$ab=ba$が成り立つ．
また，可換環でない環を非可換環(non-commutative law)という．
環では，任意の元に対して積の逆元が存在するとは限らない．
$R$を二項演算$\phi ,\psi$に関する環とする．次の条件を満たす$a\in R$を可逆元(invertible element)(または単元(unit))という．
- ある$b\in R$が存在し，$ab=ba=1$となる．
このとき，$b$を$a$の逆元(inverse element)といい，$a^{-1}$で表す．
可逆元に対する逆元の一意性は，次の記事の命題1の②を参照するとよい．
環$R$の可逆元全体の集合を$R$の乗法群(multiplicative group)といい，$R^{\times}$で表す．
定義4において，$R^{\times}$が$\psi$について群であることを確認する．
任意の$a,b\in R^{\times}$に対し，$ab\in R^{\times}$である．実際
\[ (ab)(b^{-1}a^{-1})=(a(bb^{-1}))a^{-1}=(a1)a^{-1}=aa^{-1}=1\]
\[ (b^{-1}a^{-1})(ab)=(b^{-1}(a^{-1}a))b=(b^{-1}1)b=b^{-1}b=1\]
であり，$a^{-1},b^{-1}\in R^{\times}$であるから，$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\in R^{\times}$である．
また，$R^{\times}\subset R$であるから，任意の$a,b,c\in R^{\times}$に対し
\[ (ab)c=a(bc)\]
が成り立つ．
さらに，$1\times 1=1$より$1\in R^{\times}$であるから，$R^{\times}\subset R$より，任意の$a\in R^{\times}$に対し
\[ a1=1a=a\]
が成り立つ．
$R^{\times}$の定義より，任意の$a\in R^{\times}$に対して$a^{-1}\in R^{\times}$が存在するのは明らかであるから，$R^{\times}$は$\psi$について群である．
零環
$\{ 0\}$上の二項演算$\phi ,\psi$を
\[ 0+0=0,\quad 0\times 0=0\]
により定めるとき，$\{ 0\}$を零環(zero ring)(または自明環(trivial ring))
定義5において，零環が環であることは，環の定義から容易に確認できる．
$R$を環とする．
任意の$a\in R$に対し，$a0=0a=0$が成り立つ．
$a0$の和に関する逆元を$b$とすると
\[ a0=a0+0=a0+(a0+b)=(a0+a0)+b=a(0+0)+b=a0+b=0\]
同様に，$0a$の和に関する逆元を$c$とすると
\[ 0a=0a+0=0a+(0a+c)=(0a+0a)+c=(0+0)a+c=0a+c=0\]
よって，$a0=0a=0$が得られる．$\blacksquare$
零環であることの必要十分条件は，次のようにまとめられる．
環$R$に対し，次が成り立つ．
\[ Rが零環\iff 0=1\]
($\implies$の証明):
$R=\{ 0\}$であり，$0+0=0,0\times 0=0$であるから，$0=1$が成り立つ．
($\impliedby$の証明):
任意の$a\in R$に対し
\[ a=1a=0a=0\]
であるから，$R=\{ 0\}$である．$\blacksquare$
環の例
$\mathbb{Z,Q,R,C}$は通常の加法と乗法に関する可換環である．
例えば，$\mathbb{Z}$は次の4つの条件
- $\mathbb{Z}$は通常の加法について可換群である．
- $\mathbb{Z}$は通常の乗法についてモノイドである，すなわち次の3つの条件をすべて満たす．
- $\mathbb{Z}$は通常の乗法について閉じている．
- 任意の$a,b,c\in \mathbb{Z}$に対し，$(ab)c=a(bc)$が成り立つ．
- $1\in \mathbb{Z}$であり，任意の$a\in \mathbb{Z}$に対し，$a1=1a=a$が成り立つ．
- 任意の$a,b\in \mathbb{Z}$に対し，$ab=ba$が成り立つ．
- 任意の$a,b,c\in \mathbb{Z}$に対し，$a(b+c)=ab+ac$，$(a+b)c=ac+bc$が成り立つ．
をすべて満たすから，通常の加法と乗法に関して可換環である．
特に，$\mathbb{Z}$を整数環(ring of integers)という．
$n\in \mathbb{N}$，$R$を環，$a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n\in R$，$x_1,x_2,\dots ,x_n$を変数とする．
$R$の元を係数とする$x_1,x_2,\dots ,x_n$についての多項式全体の集合$P$は次の4つの条件
- $P$は通常の多項式の加法について可換群である(単位元は$0$，$p\in P$の逆元は$-p$)．
- $P$は通常の多項式の乗法についてモノイドである(単位元は$1$)．
- 任意の$p,q\in P$に対し，$pq=qp$が成り立つ．
- 任意の$p,q,r$に対し，$p(q+r)=pq+pr$，$(p+q)r=pr+qr$が成り立つ．
をすべて満たすから，通常の多項式の加法と乗法に関して可換環である．
$a,b\in \mathbb{R}$，$a<b$，$C$を$[a,b]$を定義域とする実数値連続関数全体の集合とし，任意の$x\in [a,b]$に対し，$C$上の二項演算$\phi ,\psi$を
\[ (f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad (f,g\in C)\]
\[ (fg)(x)=f(x)g(x)\quad (f,g\in C)\]
により定めるとき，$C$は次の4つの条件
- $C$は$\phi$について可換群である(単位元は$f(x)=0$，$f(x)$の逆元は$-f(x)$)．
- $C$は$\psi$についてモノイドである(単位元は$f(x)=1$)．
- 任意の$f,g\in C$に対し，$(fg)(x)=(gf)(x)$が成り立つ．
- 任意の$f,g,h$に対し，$(f(g+h))(x)=(fg)(x)+(fh)(x)$，$(f+g)h=(fh)(x)+(gh)(x)$が成り立つ．
をすべて満たすから，$\phi$と$\psi$に関して可換環である．
$n\in \mathbb{N}$とする．実数を成分とする$n\times n$行列全体の集合$M_n(\mathbb{R})$は，行列の和と積に関して環である．
実際，零行列$O_n$は和の単位元，単位行列$E_n$は積の単位元であり，$A\in M_n(\mathbb{R})$の和に関する逆元は$-A$である．
ただし，行列の積については交換法則は成り立たないから，$M_n(\mathbb{R})$は可換環でない．
環と類似の代数的構造
$R$を集合，$\phi ,\psi$を二項演算とする．次の条件をすべて満たすとき，$R$を$\phi ,\psi$に関する半環(semi-ring, rig)という．
- $R$は$\phi$に関してモノイドである($0$を$\phi$の単位元とする)．
- 任意の$a,b$に対し，$a+b=b+a$が成り立つ．
- $R$は$\psi$に関してモノイドである($1$を$\psi$の単位元とする)．
- (分配法則(distribution law)) 任意の$a,b,c\in R$に対し，$a(b+c)=ab+ac$，$(a+b)c=ac+bc$が成り立つ．
- 任意の$a\in R$に対し，$a0=0a=0$が成り立つ．
$R$を集合，$\phi ,\psi$を二項演算とする．次の条件をすべて満たすとき，$R$を$\phi ,\psi$に関する近環(near-ring)という．
- $R$は$\phi$に関して群である．
- $R$は$\psi$に関して半群である．
- (右分配法則(right-distribution law)) 任意の$a,b,c\in R$に対し，$(a+b)c=ac+bc$が成り立つ．
- 任意の$a\in R$に対し，$a0=0a=0$が成り立つ．