群論･環論･体論

剰余類は群構造を持つとは限らない．剰余類に群構造を入れる手段に一つとして，正規部分群を導入する．正規部分群定義1$G$を群，$H$を$G$の部分群とする．任意の$g\in G$と任意の$h\in H$に対して，$ghg^{-1}\in H$...

群の元に対しても，位数という用語を定義する．これを用いることで，$\mathbb{Z}$の部分群が$n\mathbb{Z}$のみであることを示すことができる．群の元の指数群の元の指数表記を，定義1のように帰納的に定める．定義1$G$を群，$...

群の同型の概念は，2つの群の構造を同一視するものである．特に，自身の群への同型写像を考えることは重要である．自己同型定義1$G$を群とする．$G$から$G$への同型写像を自己同型(または自己同型写像)(automorphism)という．例1...

群の構造を調べるには，なるべく位数が小さい部分群に注目するとよい．剰余類を導入するとラグランジュの定理が得られ，部分群の位数を調べることができる．剰余類剰余類を定義するための準備として，次の補題を示す．補題1$G$を群，$H$を$G$の部分...

正規部分群による剰余類は，群構造が入る．すなわち，正規部分群が見つかると，新たな部分群を構成することができる．剰余群正規部分群による剰余類に対して，次の演算を導入する．補題1$G$を群，$N\triangleleft G$とする．$G/N$...

群の構造を捉えるために，群の間の写像を考えよう．群の準同型と同型群は演算が備わった集合である．そこで，集合として対応しているだけでなく，演算についても整合しているとき，2つの群を同一視することにしよう．定義1$G_1,G_2$を群，$f:G...

群の元の構造を捉えるために，群の生成という概念を導入する．生成系定義1$G$を群，$S\subset G$，$g\in G$とする．ある$n\in \mathbb{N}$と$x_1,x_2,\dots ,x_n\in S$が存在して\と表さ...

一般線形群定義1体$K$上のベクトル空間$V$の全単射な線形変換全体の集合を$V$の一般線形群(general linear group)といい，$\mathrm{GL}(V)$で表す．定義1は，次のように言い換えることができる．定義2$n...

部分群定義1$G$を群，$H\subset G$とする．$H$が$G$上の演算に関して群であるとき，$H$を$G$の部分群(subgroup)という．部分群の基本性質を確認しよう．命題1$H$を群$G$の部分群とするとき，次が成り立つ．$e...

体の定義体では，環と同様に2つの演算を考える．この記事では，集合$S$上の二項演算$\phi ,\psi$を\で表すことにする．体の定義には環やその周辺の概念についての定義の理解が欠かせない．詳しくは以下の記事を参照するとよい．この記事を含...