2階の導関数を調べることにより，関数のグラフの概形を掴もう．
凸関数と凹関数
関数の凹凸は，次のように厳密に定義される．
定義1
$I\subset \mathbb{R}$を開区間，$f:I\to \mathbb{R}$を関数とする．
- $a\in I$とする．ある$\delta >0$が存在し，任意の$x_1,x_2\in (a-\delta ,a+\delta )$と任意の$t\in [0,1]$に対して
\[ f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)\]
が成り立つとき，$f$は$x=a$で凸(または下に凸)(convex)であるという． - 任意の$a\in I$に対して，$f$が$x=a$で凸であるとき，$f$を凸関数(または下に凸な関数)(convex function)という．
- $a\in I$とする．ある$\delta >0$が存在し，任意の$x_1,x_2\in (a-\delta ,a+\delta )$と任意の$t\in (0,1)$に対して，$x_1\neq x_2$ならば
\[ f(tx_1+(1-t)x_2)<tf(x_1)+(1-t)f(x_2)\]
が成り立つとき，$f$は$x=a$で狭義の凸(または狭義の下に凸)(strictly convex)であるという． - 任意の$a\in I$に対して，$f$が$x=a$で狭義の凸であるとき，$f$を狭義の凸関数(または狭義の下に凸な関数)(strictly convex function)という．
定義2
$I\subset \mathbb{R}$を開区間，$f:I\to \mathbb{R}$を関数とする．
- $a\in I$とする．ある$\delta >0$が存在し，任意の$x_1,x_2\in (a-\delta ,a+\delta )$と任意の$t\in [0,1]$に対して
\[ f(tx_1+(1-t)x_2)\ge tf(x_1)+(1-t)f(x_2)\]
が成り立つとき，$f$は$x=a$で凹(または上に凸)(concave)であるという． - 任意の$a\in I$に対して，$f$が$x=a$で凹であるとき，$f$を凹関数(または上に凸な関数)(concave function)という．
- $a\in I$とする．ある$\delta >0$が存在し，任意の$x_1,x_2\in (a-\delta ,a+\delta )$と任意の$t\in (0,1)$に対して，$x_1\neq x_2$ならば
\[ f(tx_1+(1-t)x_2)>tf(x_1)+(1-t)f(x_2)\]
が成り立つとき，$f$は$x=a$で狭義の凹(または狭義の上に凸)(strictly concave)であるという． - 任意の$a\in I$に対して，$f$が$x=a$で狭義の凹であるとき，$f$を狭義の凹関数(または狭義の上に凸な関数)(strictly concave function)という．
関数のグラフを考えるとき，次の概念も重要である．
定義3
$I\subset \mathbb{R}$を開区間，$f:I\to \mathbb{R}$を関数，$a\in I$とする．
ある$\delta >0$が存在して，任意の$x_1\in (a-\delta ,a)$と任意の$x_2\in (a,a+\delta )$に対して，$f$は$x=x_1$で凸かつ$x=x_2$で凹であるか，$f$は$x=x_1$で凹かつ$x=x_2$で凸であるとき，$(a,f(a))$は曲線$y=f(x)$の変曲点(inflection point, point of inflection, flex, inflection, inflexion)という．
2階の導関数と関数の凹凸
関数の凹凸は2回微分することによって判別することができる．
定理1
$I\subset \mathbb{R}$を開区間，$f:I\to \mathbb{R}$を$I$上$2$回微分可能である関数，$a\in I$とし，$f^{\prime \prime}(x)$は$x=a$で連続であるとする．
- $f^{\prime \prime}(a)>0$ならば，$f(x)$は$x=a$で凸である．
- $f^{\prime \prime}(a)<0$ならば，$f(x)$は$x=a$で凹である．
- $f^{\prime \prime}(a)=0$であり，ある$\delta >0$が存在して，任意の$x_1\in (a-\delta ,a)$と任意の$x_2\in (a,a+\delta )$に対して，$f^{\prime \prime}(x_1)f^{\prime \prime}(x_2)<0$となるならば，$(a,f(a))$は曲線$y=f(x)$の変曲点である．
- $f^{\prime \prime}(a)>0$より，ある$\delta >0$が存在して，任意の$x\in (a-\delta ,a+\delta )$に対して，$f^{\prime}(x)$は狭義単調増加である．
$x_1<x_2$を満たす$x_1,x_2\in (a-\delta ,a+\delta )$に対して，関数$g:[0,1]\to \mathbb{R}$を
\[ g(t)=tf(x_1)+(1-t)f(x_2)-f(tx_1+(1-t)x_2)\quad (t\in [0,1])\]
により定めると
\[ g^{\prime}(t)=f(x_1)-f(x_2)-(x_1-x_2)f^{\prime}(tx_1+(1-t)x_2)\]
である．
$tx_1+(1-t)x_2\in (a-\delta ,a+\delta )$であることに注意すると，$g^{\prime}(t)$は狭義単調増加であるから，$g^{\prime \prime}(t)>0$
したがって
\[ f(tx_1+(1-t)x_2)<tf(x_1)+(1-t)f(x_2)\]
が成り立つから，$f$は$x=a$で凸である．$\blacksquare$ - $f^{\prime \prime}(a)<0$より，ある$\delta >0$が存在して，任意の$x\in (a-\delta ,a+\delta )$に対して，$f^{\prime}(x)$は狭義単調減少である．
$x_1<x_2$を満たす$x_1,x_2\in (a-\delta ,a+\delta )$に対して，関数$g:[0,1]\to \mathbb{R}$を
\[ g(t)=tf(x_1)+(1-t)f(x_2)-f(tx_1+(1-t)x_2)\quad (t\in [0,1])\]
により定めると
\[ g^{\prime}(t)=f(x_1)-f(x_2)-(x_1-x_2)f^{\prime}(tx_1+(1-t)x_2)\]
である．
$tx_1+(1-t)x_2\in (a-\delta ,a+\delta )$であることに注意すると，$g^{\prime}(t)$は狭義単調減少であるから，$g^{\prime \prime}(t)<0$
したがって
\[ f(tx_1+(1-t)x_2)>tf(x_1)+(1-t)f(x_2)\]
が成り立つから，$f$は$x=a$で凹である．$\blacksquare$ - $f^{\prime \prime}(x_1)>0$かつ$f^{\prime \prime}(x_2)<0$であるとき，(1)及び(2)より，$f$は$x=x_1$で凸であり，$x=x_2$で凹であるから，$(a,f(a))$は曲線$y=f(x)$の変曲点である．
$f^{\prime \prime}(x_1)<0$かつ$f^{\prime \prime}(x_2)>0$であるとき，(1)及び(2)より，$f$は$x=x_1$で凹であり，$x=x_2$で凸であるから，$(a,f(a))$は曲線$y=f(x)$の変曲点である．$\blacksquare$
2階の導関数と極値
2階の導関数を用いることで，極値の判別がさらに容易になる．
定理2
$I\subset \mathbb{R}$を開区間，$f:I\to \mathbb{R}$を$I$上$2$回微分可能である関数，$a\in I$とし，$f^{\prime}(a)=0$かつ$f^{\prime \prime}(x)$は$x=a$で連続であるとする．
- $f^{\prime \prime}(a)>0$ならば，$f(a)$は$f(x)$の$x=a$における極小値である．
- $f^{\prime \prime}(a)<0$ならば，$f(a)$は$f(x)$の$x=a$における極大値である．
- $f^{\prime \prime}(a)=0$であり，ある$\delta >0$が存在して，任意の$x_1\in (a-\delta ,a)$と任意の$x_2\in (a,a+\delta )$に対して，$f^{\prime \prime}(x_1)f^{\prime \prime}(x_2)<0$となるならば，$f(a)$は$f(x)$の$x=a$における極値でない．
- $f^{\prime \prime}(a)>0$より，ある$\delta >0$が存在して，任意の$x\in (a-\delta ,a+\delta )$に対して，$f^{\prime}(x)$は狭義単調増加である．
よって
\[ f^{\prime}(a)\begin{cases}<0&(a-\delta <x<a)\\ =0&(x=a)\\ >0&(a<x<a+\delta )\end{cases}\]
であるから，任意の$x\in (a-\delta ,a)$に対して$f(x)$は狭義単調減少であり，任意の$x\in (a,a+\delta )$に対して$f(x)$は狭義単調増加である．
したがって，$f(a)$は$f(x)$の$x=a$における極小値である．$\blacksquare$ - $f^{\prime \prime}(a)<0$より，ある$\delta >0$が存在して，任意の$x\in (a-\delta ,a+\delta )$に対して，$f^{\prime}(x)$は狭義単調減少である．
よって
\[ f^{\prime}(a)\begin{cases}>0&(a-\delta <x<a)\\ =0&(x=a)\\ <0&(a<x<a+\delta )\end{cases}\]
であるから，任意の$x\in (a-\delta ,a)$に対して$f(x)$は狭義単調増加であり，任意の$x\in (a,a+\delta )$に対して$f(x)$は狭義単調減少である．
したがって，$f(a)$は$f(x)$の$x=a$における極大値である．$\blacksquare$ - $f^{\prime \prime}(x_1)>0$かつ$f^{\prime \prime}(x_2)<0$であるとき，任意の$x\in (a-\delta ,a)$に対して$f^{\prime}(x)$は狭義単調増加であり，任意の$x\in (a,a+\delta )$に対して$f^{\prime}(x)$は狭義単調減少であるから，$f^{\prime}(a)=0$より，任意の$x\in (a-\delta ,a+\delta )$に対して，$f^{\prime}(x)\le 0$すなわち$f$は広義単調減少であるから，$f(a)$は$f(x)$の$x=a$における極値でない．
$f^{\prime \prime}(x_1)<0$かつ$f^{\prime \prime}(x_2)>0$であるとき，任意の$x\in (a-\delta ,a)$に対して$f^{\prime}(x)$は狭義単調減少であり，任意の$x\in (a,a+\delta )$に対して$f^{\prime}(x)$は狭義単調増加であるから，$f^{\prime}(a)=0$より，任意の$x\in (a-\delta ,a+\delta )$に対して，$f^{\prime}(x)\ge 0$すなわち$f$は広義単調増加であるから，$f(a)$は$f(x)$の$x=a$における極値でない．$\blacksquare$