ベクトル解析学で登場する種々の積分定理は，微分形式を用いることで非常に簡潔にまとめることができる．
以下，$n\in \mathbb{N}$，$x^1,x^2,\dots ,x^n$を$\mathbb{R}^n$の座標とする．
微分形式の(厳密でない)定義
この記事では，多様体に基づく厳密な微分形式の定義ではなく，天下り的に微分形式を導入する．
$D\in \mathbb{R}^n$を開集合とする．
- $D$上の関数を$D$上の微分$0$形式(または$0$次微分形式)($0$-form)という．
- $f_1,f_2,\dots ,f_n$を$D$上の関数とする．
$\displaystyle \sum _{i=1}^nf_idx^i$を$D$上の微分$1$形式(または$1$次微分形式)($1$-form)という． - $n\ge 2$のとき，$k$を$2$以上$n$以下の整数とし，$i_1,i_2,\dots ,i_k\in \{ 1,2,\dots ,n\}$に対して，$f_{i_1i_2\dots i_k}$を$D$上の関数とする．
\[ \sum _{1\le i_1<i_2<\dots <i_k\le n}f_{i_1i_2\dots i_k}dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge \dots \wedge dx^{i_k}\]
$D$上の微分$k$形式(または$k$次微分形式)($k$-form)という． - ①，②，③を総称して微分形式(または外微分形式)(differential form)という．
- $l\in \{ 0,1,\dots ,n\}$，$u$を微分形式とする．
$u$が微分$l$形式であるとき，$l$を$u$の次数(degree)といい，$D$上の微分$l$形式全体の集合を$\Omega ^l(D)$で表す．
この記事では，定義1の$dx^i$は単なる記号として扱うことにする．
- $\mathbb{R}^3$において
\[ u=6xydx\wedge dy+dy\wedge dz\]
は微分$2$形式である． - $\mathbb{R}^3$において
\[ v=x^3yzdx\wedge dy\wedge dz\]
は微分$3$形式である．
微分形式の演算
微分形式の間には演算が定義されている．
微分形式どうしの和，関数と微分形式の積を次のように定義する．
$D\in \mathbb{R}^n$を開集合とする．
- $f_1,f_2,\dots ,f_n,g_1,g_2,\dots ,g_n$を$D$上の関数とする．また
\[ u=\sum _{i=1}^nf_idx^i\\ v=\sum _{i=1}^ng_idx^i\]
を微分$1$形式とする．
\[ \sum _{1\le i_1<i_2<\dots <i_k\le n}(f_{i_1i_2\dots i_k}+g_{i_1i_2\dots i_k})dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge \dots \wedge dx^{i_k}\]
を$u+v$で表す． - $n\ge 2$のとき，$k$を$2$以上$n$以下の整数とし，$i_1,i_2,\dots ,i_k\in \{ 1,2,\dots ,n\}$に対して，$f_{i_1i_2\dots i_k},g_{i_1i_2\dots i_k}$を$D$上の関数とする．また
\[ u=\sum _{1\le i_1<i_2<\dots <i_k\le n}f_{i_1i_2\dots i_k}dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge \dots \wedge dx^{i_k}\\ v=\sum _{1\le i_1<i_2<\dots <i_k\le n}g_{i_1i_2\dots i_k}dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge \dots \wedge dx^{i_k}\]
を微分$k$形式とする．
\[ \sum _{1\le i_1<i_2<\dots <i_k\le n}(f_{i_1i_2\dots i_k}+g_{i_1i_2\dots i_k})dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge \dots \wedge dx^{i_k}\]
を$u+v$で表す．
$D\in \mathbb{R}^n$を開集合，$f$を$D$上の関数とする．
- $g_1,g_2,\dots ,g_n$を$D$上の関数とする．また
\[ u=\sum _{i=1}^ng_idx^i\]
を微分$1$形式とする．
\[ \sum _{1\le i_1<i_2<\dots <i_k\le n}fg_{i_1i_2\dots i_k}dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge \dots \wedge dx^{i_k}\]
を$fu$で表す． - $n\ge 2$のとき，$k$を$2$以上$n$以下の整数とし，$i_1,i_2,\dots ,i_k\in \{ 1,2,\dots ,n\}$に対して，$g_{i_1i_2\dots i_k}$を$D$上の関数とする．また
\[ u=\sum _{1\le i_1<i_2<\dots <i_k\le n}g_{i_1i_2\dots i_k}dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge \dots \wedge dx^{i_k}\]
を微分$k$形式とする．
\[ \sum _{1\le i_1<i_2<\dots <i_k\le n}fg_{i_1i_2\dots i_k}dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge \dots \wedge dx^{i_k}\]
を$fu$で表す．
定義1の$\wedge$は次の性質を満たすものとして導入する1．
$i,j,k\in \{ 1,2,\dots ,n\}$，$u,v,w$を微分$k$形式，$f$を微分$0$形式とする．
- $dx^i\wedge dx^i=0$
- $dx^i\wedge dx^j=-dx^j\wedge dx^i$
- $v,w$の次数が等しいとき
\[ u\wedge (v+w)=u\wedge v+u\wedge w\\ (v+w)\wedge u=v\wedge u+w\wedge u\] - $(u\wedge v)\wedge w=u\wedge (v\wedge w)$
- $(fu)\wedge v=u\wedge (fv)=f(u\wedge v)$
具体的に計算してみよう．
$\mathbb{R}^3$上の微分形式$u,v$が
\[ u=6xydx\wedge dy+dy\wedge dz\\ v=x^3yz(dx+dy-dz)\]
で定義されているとき
\[ \begin{aligned}u\wedge v&=(6xydx\wedge dy+dy\wedge dz)\wedge (x^3yz(dx+dy-dz))\\ &=6x^4y^2z(dx\wedge dy+dy\wedge dz)\wedge (dx+dy-dz)\\ &=6x^4y^2z((dx\wedge dy)\wedge (dx+dy-dz)\\ &\quad +(dy\wedge dz)\wedge (dx+dy-dz))\\ &=6x^4y^2z(dx\wedge dy\wedge dx+dx\wedge dy\wedge dy-dx\wedge dy\wedge dz\\ &\quad +dy\wedge dz\wedge dx+dy\wedge dz\wedge dy-dy\wedge dz\wedge dz)\\ &=6x^4y^2z(-dx\wedge dy\wedge dz+dy\wedge dz\wedge dx)\\ &=6x^4y^2z(-dx\wedge dy\wedge dz+dx\wedge dy\wedge dz)\\ &=0\end{aligned}\]
命題1の③より，微分形式のウェッジ積は単純に交換できるわけではない．
$k,l\in \{ 0,1,\dots ,n\}$，$u$を微分$k$形式，$w$を微分$l$形式とする．
\[ u\wedge v=(-1)^{kl}v\wedge u\]
$k\le l$として一般性を失わない．
$k=l=1$のとき
ある関数$f_1,f_2,\dots ,f_n,g_1,g_2,\dots ,g_n$が存在して
\[ u=\sum _{i=1}^nf_idx^i\\ v=\sum _{i=1}^ng_idx^i\]
となる．このとき
\[ \begin{aligned}u\wedge v&=\sum _{i=1}^nf_idx^i\wedge \sum _{j=1}^ng_jdx^j\\ &=\sum _{1\le i,j\le n}f_ig_jdx^i\wedge dx^j\\ &=-\sum _{1\le i,j\le n}g_jf_idx^j\wedge dx^i\\ &=-\sum _{j=1}^ng_jdx^j\wedge \sum _{i=1}^nf_idx^i\\ &=-v\wedge u\end{aligned}\]
$k=1$，$l\ge 2$のとき，
ある関数$f_1,f_2,\dots ,f_n,g_{j_1\dots j_l}$が存在して
\[ u=\sum _{i=1}^nf_idx^i\\ v=\sum _{1\le j_1<\dots <j_l\le n}(g_{j_1\dots j_l}dx^{j_1}\wedge \dots \wedge dx^{j_l})\]
となる．このとき
\[ \begin{aligned}u\wedge v&=\sum _{i=1}^nf_idx^i\wedge \sum _{1\le j_1<\dots <j_l\le n}(g_{j_1\dots j_l}dx^{j_1}\wedge \dots \wedge dx^{j_l})\\ &=\sum _{\substack{1\le i\le n\\ 1\le j_1<\dots <j_l\le n}}(f_ig_{j_1\dots j_l}dx^i\wedge dx^{j_1}\wedge \dots \wedge dx^{j_l})\\ &=(-1)^l\sum _{\substack{1\le i\le n\\ 1\le j_1<\dots <j_l\le n}}(g_{j_1\dots j_l}f_idx^{j_1}\wedge \dots \wedge dx^{j_l}\wedge dx^i)\\ &=(-1)^l\sum _{1\le j_1<\dots <j_l\le n}(g_{j_1\dots j_l}dx^{j_1}\wedge \dots \wedge dx^{j_l})\wedge \sum _{i=1}^nf_idx^i\\ &=(-1)^lv\wedge u\end{aligned}\]
$k,l\ge 2$のとき，
ある関数$f_{i_1\dots i_k},g_{j_1\dots j_l}$が存在して
\[ u=\sum _{1\le i_1<\dots <i_k\le n}(f_{i_1\dots i_k}dx^{i_1}\wedge \dots \wedge dx^{i_k})\\ v=\sum _{1\le j_1<\dots <j_l\le n}(g_{j_1\dots j_l}dx^{j_1}\wedge \dots \wedge dx^{j_l})\]
となる．このとき
\[ \begin{aligned}u\wedge v&=\sum _{1\le i_1<\dots <i_k\le n}(f_{i_1\dots i_k}dx^{i_1}\wedge \dots \wedge dx^{i_k})\\ &\quad \wedge \sum _{1\le j_1<\dots <j_l\le n}(g_{j_1\dots j_l}dx^{j_1}\wedge \dots \wedge dx^{j_l})\\ &=\sum _{\substack{1\le i\le n\\ 1\le j_1<\dots <j_l\le n}}(f_{i_1\dots i_k}g_{j_1\dots j_l}dx^{i_1}\wedge \dots \wedge dx^{i_k}\wedge dx^{j_1}\wedge \dots \wedge dx^{j_l})\\ &=(-1)^{k+l-1}\sum _{\substack{1\le i\le n\\ 1\le j_1<\dots <j_l\le n}}(f_{i_1\dots i_k}g_{j_1\dots j_l}dx^{i_2}\wedge \dots \wedge dx^{i_k}\wedge dx^{j_1}\wedge \dots \wedge dx^{j_l}\wedge dx^{i_1})\\ &=(-1)^{2(k+l-1)}\sum _{\substack{1\le i\le n\\ 1\le j_1<\dots <j_l\le n}}(f_{i_1\dots i_k}g_{j_1\dots j_l}dx^{i_3}\wedge \dots \wedge dx^{i_k}\wedge dx^{j_1}\wedge \dots \wedge dx^{j_l}\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2})\\ &=\dots \\ &=(-1)^{k(k+l-1)}\sum _{\substack{1\le i\le n\\ 1\le j_1<\dots <j_l\le n}}(g_{j_1\dots j_l}f_{i_1\dots i_k}dx^{j_1}\wedge \dots \wedge dx^{j_l}\wedge dx^{i_1}\wedge \dots \wedge dx^{i_k})\\ &=(-1)^{kl}\sum _{1\le j_1<\dots <j_l\le n}(g_{j_1\dots j_l}dx^{j_1}\wedge \dots \wedge dx^{j_l})\\ &\quad \wedge \sum _{1\le i_1<\dots <i_k\le n}(f_{i_1\dots i_k}dx^{i_1}\wedge \dots \wedge dx^{i_k})\\ &=(-1)^{kl}v\wedge u\end{aligned}\]
微分形式の厳密な定義については，以下の記事を参照するとよい．
- 厳密には外積代数の演算として定義されるが，この記事では微分形式を天下り的に導入しているため，命題1の証明は省略する． ↩︎