関数の増減を調べることは微分積分学の目的の1つである．関数の極値と微分の関係性について述べる．
関数の極値
高校数学ではその定義が曖昧であった｢極値｣は，次のように厳密に定義される．
$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合，$f:A\to \mathbb{R}$を関数，$a\in A$とする．
- ある$\delta >0$が存在して，任意の$x\in A$に対して，$0<|x-a|<\delta$ならば$f(x)\le f(a)$が成り立つとき，$f(a)$を$f(x)$の$x=a$における極大値(または広義極大値)(local maximum)といい，$a$を$f$の極大点(local maximum point)という．
- ある$\delta >0$が存在して，任意の$x\in A$に対して，$0<|x-a|<\delta$ならば$f(x)\ge f(a)$が成り立つとき，$f(a)$を$f(x)$の$x=a$における極小値(または広義極小値)(local minimum)といい，$a$を$f$の極小点(local minimum point)という．
- 極大値と極小値を合わせて極値(または広義極値)(extremum)という．
次の｢狭義極値｣の概念も存在する．
$A$を$\mathbb{R}$の空でない部分集合，$f:A\to \mathbb{R}$を関数，$a\in A$とする．
- ある$\delta >0$が存在して，任意の$x\in A$に対して，$0<|x-a|<\delta$ならば$f(x)<f(a)$が成り立つとき，$f(a)$を$f(x)$の$x=a$における狭義極大値(strict local maximum)といい，$a$を$f$の狭義極大点(strict local maximum point)という．
- ある$\delta >0$が存在して，任意の$x\in A$に対して，$0<|x-a|<\delta$ならば$f(x)>f(a)$が成り立つとき，$f(a)$を$f(x)$の$x=a$における狭義極小値(strict local minimum)といい，$a$を$f$の狭義極小点(strict local minimum point)という．
- 極大値と極小値を合わせて狭義極値(strict extremum)という．
極値の必要条件
$\mathbb{R}$の有界閉区間上の連続実関数は最大値と最小値を持つ．
微分可能な関数については，極値をとる場所を絞り込むことができる．
$I\subset \mathbb{R}$を開区間，$a\in I$，$f:I\to \mathbb{R}$を$x=a$で微分可能である関数とする．
$f(a)$が$f(x)$の$x=a$における極値ならば，$f^{\prime}(a)=0$である．
$f(a)$が$f(x)$の$x=a$における極大値であるとき，ある$\delta >0$が存在して，任意の$x\in A$に対して，$0<|x-a|<\delta$ならば$f(x)\le f(a)$が成り立つ．
$x>a$のとき
\[ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le 0\]
であるから，$f$の微分可能性より
\[ f^{\prime}(a)=\lim _{x\to a+0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le \lim _{x\to a+0}0=0\]
が成り立つ．
また，$x<a$のとき
\[ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge 0\]
であるから，$f$の微分可能性より
\[ f^{\prime}(a)=\lim _{x\to a-0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge \lim _{x\to a-0}0=0\]
が成り立つ．
以上より，$0\le f^{\prime}(a)\le 0$となるから，$f^{\prime}(a)=0$である．
$f(a)$が$f(x)$の$x=a$における極小値であるとき，ある$\delta >0$が存在して，任意の$x\in A$に対して，$0<|x-a|<\delta$ならば$f(x)\ge f(a)$が成り立つ．
$x>a$のとき
\[ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge 0\]
であるから，$f$の微分可能性より
\[ f^{\prime}(a)=\lim _{x\to a+0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge \lim _{x\to a+0}0=0\]
が成り立つ．
また，$x<a$のとき
\[ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le 0\]
であるから，$f$の微分可能性より
\[ f^{\prime}(a)=\lim _{x\to a-0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le \lim _{x\to a-0}0=0\]
が成り立つ．
以上より，$0\le f^{\prime}(a)\le 0$となるから，$f^{\prime}(a)=0$である．
したがって，題意は示された．$\blacksquare$
定理1の逆は成り立たない．
関数$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$を
\[ f(x)=x^3\quad (x\in \mathbb{R})\]
により定めるとき，$f^{\prime}(x)=3x^2$であるから，$f^{\prime}(0)=0$
任意の$\delta >0$に対して，$0<\left| -\dfrac{\delta}{2}-0\right| <\delta$かつ$f\left( -\dfrac{\delta}{2}\right) =-\dfrac{\delta ^3}{8}<0=f(0)$が成り立つから，$f(0)$は$f(x)$の$x=0$における極大値でない．
また，任意の$\delta >0$に対して，$0<\left| \dfrac{\delta}{2}-0\right| <\delta$かつ$f\left( \dfrac{\delta}{2}\right) =\dfrac{\delta ^3}{8}>0=f(0)$が成り立つから，$f(0)$は$f(x)$の$x=0$における極小値でない．
以上より，$f(0)$は$f(x)$の$x=0$における極値でない．