群の元の構造を捉えるために，群の生成という概念を導入する．
生成系
$G$を群，$S\subset G$，$g\in G$とする．
ある$n\in \mathbb{N}$と$x_1,x_2,\dots ,x_n\in S$が存在して
\[ g=x_1^{\pm 1}x_2^{\pm 2}\dots x_n^{\pm 1}\quad (複合任意)\]
と表される$g$を$S$の元による語(word)という．
ただし，$G$の単位元$e$は空集合$\emptyset$の元による語であるとする．
すなわち，群の部分集合の元とその逆元の積で表される群の元を，その部分集合による語という．このとき，次の概念を定義することができる．
$G$を群，$S\subset G$，$n\in \mathbb{N}$とする．
$S$の元による語全体の集合を$S$によって生成された部分群(subgroup generated by S)といい，$\langle S\rangle$で表す．このとき，$S$は$G$を生成する(generate)といい，$S$を$\langle S\rangle$の生成系(または群の生成系，生成集合)(generating set of a group)，$S$の元を$\langle S\rangle$の生成元(generator)(または群の生成元(group generator))という．
特に，$S=\{ x_1,x_2,\dots ,x_n\}$であるとき，$\langle S\rangle$を$\langle x_1,x_2,\dots ,x_n\rangle$で表す．
ここで，群$G$の部分集合$S$に対して，$\langle S\rangle$が$G$の部分群であることを確認しよう．
$e$を$G$の単位元とすると，$S$が空集合であるとき，$\langle S\rangle =\{ e\}$は$G$の部分群である．
以下，$S$は空でないとし，$S^{\prime}=\{ x^{\pm 1}\mid x\in S\}$とする．
任意の$a,b\in \langle S\rangle$に対して，ある$m,n\in \mathbb{N}$と$x_1,x_2,\dots ,x_m,y_1,y_2,\dots y_n\in S^{\prime}$が存在して
\[ a=x_1x_2\dots x_m,\quad b=y_1y_2\dots y_n\]
と表される．このとき，$y_1^{-1}.y_2^{-1},\dots y_n^{-1}\in S^{\prime}$であるから
\[ ab^{-1}=x_1x_2\dots x_my_n^{-1}\dots y_2^{-1}y_1^{-1}\in \langle S\rangle \]
$\langle S\rangle$は空でないことに注意すると，$\langle S\rangle$は$G$の部分群である．
$G$を群，$S\subset G$とする．
$G$の任意の部分群$H$に対して，$S\subset H$ならば$\langle S\rangle \subset H$が成り立つ．
$H$を$S$を含む$G$の部分群とする．
$e$を$G$の単位元とすると，$S$が空集合であるとき，$\langle S\rangle =\{ e\}$であり，$e\in H$であるから，$\langle S\rangle \subset H$が成り立つ．
以下，$S$は空でないとし，$S^{\prime}=\{ x^{\pm 1}\mid x\in S\}$とする．
$a\in \langle S\rangle$ならば，ある$n\in \mathbb{N}$と$x_1,x_2,\dots ,x_n\in S^{\prime}$が存在して
\[ a=x_1x_2\dots x_n\]
と表される．
ここで，任意の$x\in S$に対して，$S\subset H$より$x\in H$であり，$H$は$G$の部分群であるから，$x^{-1}\in H$である．
よって，$x_1,x_2,\dots ,x_n\in H$であるから，$a\in H$
したがって$\langle S\rangle \subset H$が成り立つ．$\blacksquare$
$G$を群，$S_1,S_2$を$G$の部分集合とする．
$S_1\subset S_2$ならば$\langle S_1\rangle \subset \langle S_2\rangle$が成り立つ．
$e$を$G$の単位元とすると，$S_1$が空集合であるとき，$\langle S_1\rangle =\{ e\}$であり，$e\in \langle S_2\rangle$であるから，$\langle S_1\rangle \subset \langle S_2\rangle$が成り立つ．
以下，$S_1$は空でないとし，$S_1^{\prime}=\{ x^{\pm 1}\mid x\in S_1\}$，$S_2^{\prime}=\{ x^{\pm 1}\mid x\in S_2\}$とする．
任意の$a\in \langle S_1\rangle$に対して，ある$n\in \mathbb{N}$と$x_1,x_2,\dots ,x_n\in S_1^{\prime}$が存在して
\[ a=x_1x_2\dots x_n\]
と表される．$S_1\subset S_2$より$S_1^{\prime}\subset S_2^{\prime}$であるから，$x_1,x_2,\dots ,x_n\in S_2^{\prime}$であることに注意すると，$a\in \langle S_2\rangle$である．
したがって，$\langle S_1\rangle \subset \langle S_2\rangle$が成り立つ．$\blacksquare$
巡回群
最も単純な生成系として，1元集合を考えてみよう．
1元集合で生成される群を巡回群(cyclic group, monogenous group)といい，巡回群である部分群を巡回部分群(cyclic subgroup)という．
$S=\langle x\rangle$を巡回群とするとき，任意の$g\in S$に対して，ある$n\in \mathbb{Z}$が存在して，$g=x^n$となる．
巡回群の例をいくつか紹介しよう．
加法に関する巡回群$\langle 1\rangle$は$\mathbb{Z}$に等しい．
$n\in \mathbb{N}$とする．加法に関する巡回群$\langle n\rangle$は$n\mathbb{Z}=\{ nk\mid k\in \mathbb{Z}\}$に等しい．
$i$を虚数単位とする．乗法に関する巡回群$\langle i\rangle$は$\{ \pm 1,\pm i\}$に等しい．
$\sigma =(1\ 2\ 3)\in S_3$とする．
\[ \sigma ^2=(3\ 1\ 2),\quad \sigma ^3=\mathrm{id}\]
であるから
\[ \langle \sigma \rangle =\{ \mathrm{id},(1\ 2\ 3),(3\ 1\ 2)\} \]
である．
最後に，次の命題を示しておく．
巡回群は可換群である．
$G=\langle x\rangle$を巡回群とする．
任意の$a,b\in G$に対して，ある$m,n\in \mathbb{Z}$が存在して，$a=x^m,b=x^n$となる．このとき
\[ ab=x^mx^n=x^{m+n}=x^{n+m}=x^nx^m=ba\]
であるから，巡回群は可換群である．$\blacksquare$