群の例

群論では，様々な群の例が登場する．ここでは，重要度の高い群を列挙してまとめた．

加法･乗法の群

$\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$

$\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$は加法に関して可換群である．
$G\in \{ \mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\}$とする．

• 任意の$a,b\in G$に対して
  \[ a+b\in G\]
  である．
• 任意の$a,b,c\in G$に対して
  \[ (a+b)+c=a+(b+c)\]
  が成り立つ．
• $0\in G$であり，任意の$a\in G$に対して
  \[ a+0=0+a=a\]
  が成り立つ．
• 任意の$a\in G$に対して，$-a\in G$であり
  \[ a+(-a)=(-a)+a=0\]
  が成り立つ．

いずれも無限群である．
特に，$\mathbb{Z}=\langle 1\rangle$は加法に関して$1$を生成元とする巡回群である．

$\mathbb{Z}$の部分群

$n\in \mathbb{N}\cup \{ 0\}$，$n\mathbb{Z}$を$n$の倍数全体の集合とする．
$n\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$の加法に関する部分群である．

$a,b\in n\mathbb{Z}$を任意にとる．
このとき，$b$の逆元は$-b$であり，$a-b$は$n$の倍数であるから
\[ a-b\in n\mathbb{Z}\]
したがって，$n\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$の部分群である¹．

特に，$n\mathbb{Z}$は$n\neq 0$のとき無限群であり，加法に関して$n$を生成元とする巡回群である．

$\mathbb{Z}$の部分群は$n\mathbb{Z}$のみである．

$\mathbb{Q}\setminus \{ 0\} ,\mathbb{R}\setminus \{ 0\} ,\mathbb{C}\setminus \{ 0\}$

$\mathbb{Q}^{\times}=\mathbb{Q}\setminus \{ 0\} ,\mathbb{R}^{\times}=\mathbb{R}\setminus \{ 0\} ,\mathbb{C}^{\times}=\mathbb{C}\setminus \{ 0\}$は乗法に関して可換群である．
$G\in \{ \mathbb{Q}^{\times},\mathbb{R}^{\times},\mathbb{C}^{\times}\}$とする．

• 任意の$a,b\in G$に対して
  \[ ab\in G\]
  である．
• 任意の$a,b,c\in G$に対して
  \[ (ab)c=a(bc)\]
  が成り立つ．
• $1\in G$であり，任意の$a\in \{ \pm 1\}$に対して
  \[ a1=1a=a\]
  が成り立つ．
• 任意の$a\in G$に対して，$a^{-1}\in G$であり
  \[ aa^{-1}=a^{-1}a=1\]
  が成り立つ．

いずれも無限群である．

位数$の群

$\{ \pm 1\}$は乗法に関して位数$2$の可換群である．

$\{ \pm 1\}$の乗法表は次のようになる．

• 任意の$a,b\in \{ \pm 1\}$に対して
  \[ ab\in \{ \pm 1\} \]である．
• 任意の$a,b,c\in \{ \pm 1\}$に対して
  \[ (ab)c=a(bc)\]が成り立つ．
• $1\in \{ \pm 1\}$であり，任意の$a\in \{ \pm 1\}$に対して
  \[ a1=1a=a\]
  が成り立つ．
• 任意の$a\in \{ \pm 1\}$に対して，$a^{-1}\in \{ \pm 1\}$であり
  \[ aa^{-1}=a^{-1}a=1\]
  が成り立つ．

位数$2$の任意の群は，この群$\{ \pm 1\}$と同型である．したがって，位数$2$の群は本質的には1種類しか存在しない．

置換群

$n$次対称群$\mathfrak{S}_n$

$n\in \mathbb{N}$，$\mathfrak{S}_n$を全単射
\[ \sigma :\{ 1,2,\dots ,n\} \to \{ 1,2,\dots ,n\} \]
全体の集合とする．
$\mathfrak{S}_n$は写像の合成に関して群である．

• 任意の$\sigma ,\tau \in \mathfrak{S}_n$に対して
  \[ \sigma \circ \tau \in \mathfrak{S}_n\]
  である．
• 任意の$\sigma ,\tau ,\upsilon \in \mathfrak{S}_n$に対して
  \[ (\sigma \circ \tau )\circ \upsilon =\sigma \circ (\tau \circ \upsilon )\]
  が成り立つ．
• 恒等写像$\mathrm{id}\in \mathfrak{S}_n$が存在して，任意の$\sigma \in \mathfrak{S}_n$に対して
  \[ \sigma \circ \mathrm{id}=\mathrm{id}\circ \sigma =\sigma \]
  が成り立つ．
• 任意の$\sigma \in \mathfrak{S}_n$に対して，逆写像$\sigma ^{-1}\in \mathfrak{S}_n$が存在して
  \[ \sigma \sigma ^{-1}=\sigma ^{-1}\sigma =\mathrm{id}\]
  が成り立つ．

このとき，$\mathfrak{S}_n$を$n$次対称群($n$-th symmetric group)といい，位数$n!$の有限群である．

$n$次交代群$\mathfrak{A}_n$

$n\in \mathbb{N}$とする．
集合
\[ \mathfrak{A}_n=\{ \sigma \in \mathfrak{S}_n\mid \operatorname{sgn}\sigma =1\} \]
は$n$次対称群$\mathfrak{S}_n$の正規部分群である．

置換の符号を与える$\mathfrak{S}_n$から位数$2$の群$\{ \pm 1\}$への写像
\[ \operatorname{sgn}:\mathfrak{S}_n\to \{ \pm 1\} \]
を考える．

任意の$\sigma ,\tau \in \mathfrak{S}_n$に対して
\[ \operatorname{sgn}(\sigma \circ \tau)=(\operatorname{sgn}\sigma )(\operatorname{sgn}\tau )\]
が成り立つ²から，$\operatorname{sgn}$は準同型写像である．

よって，$\mathfrak{A}_n=\operatorname{Ker}\operatorname{sgn}\triangleleft \mathfrak{S}_n$である³．

このとき，$\mathfrak{A}_n$を$n$次交代群($n$-th alternating group)といい，$n=1$のときは位数$1$，$n\neq 1$のときは位数$\dfrac{n!}{2}$の有限群である．

行列の積の群

一般線形群$\mathrm{GL}_n(K)$

$n\in \mathbb{N}$，$K$を体⁴，$\mathrm{GL}_n(K)$を$K$上の$n$次正則行列全体の集合とする．
$\mathrm{GL}_n(K)$は行列の積に関して群である．

• 任意の$A,B\in \mathrm{GL}_n(K)$に対して
  \[ AB\in \mathrm{GL}_n(K)\]
  である．
• 任意の$A,B,C\in \mathrm{GL}_n(K)$に対して
  \[ (AB)C=A(BC)\]
  が成り立つ．
• 単位行列$I_n\in \mathrm{GL}_n(K)$が存在して，任意の$A\in \mathrm{GL}_n(K)$に対して
  \[ AI_n=I_nA=A\]
  が成り立つ．
• 任意の$A\in \mathrm{GL}_n(K)$に対して，逆行列$A^{-1}\in \mathrm{GL}_n(K)$が存在して
  \[ AA^{-1}=A^{-1}A=I_n\]
  が成り立つ．

このとき，$\mathrm{GL}_n(K)$を一般線形群(general linear group)という⁵．

特殊線形群$\mathrm{SL}_n(K)$

$n\in \mathbb{N}$，$K$を体とする．
集合
\[ \mathrm{SL}_n(K)=\{ A\in \mathrm{GL}_n(K)\mid \det A=1\} \]
は一般線形群$\mathrm{GL}_n(K)$の行列の積に関する正規部分群である．

$A,B\in \mathrm{SL}_n(K)$を任意にとる．
このとき，$B$の逆元は逆行列$B^{-1}$である⁶．
\[ (AB^{-1})(BA^{-1})=(BA^{-1})(AB^{-1})=I_n\]
であるから，$AB^{-1}$は正則であり
\[ \det (AB^{-1})=(\det A)(\det B^{-1})=\frac{\det A}{\det B}=1\]
であるから
\[ AB^{-1}\in \mathrm{SL}_n(K)\]

また，任意の$A\in \mathrm{SL}_n(K)$と任意の$B\in \mathrm{GL}_n(K)$に対して
\[ \det (BAB^{-1})=\frac{(\det B)(\det A)}{\det B}=\det A=1\]
が成り立つから
\[ BAB^{-1}\in \mathrm{SL}_n(K)\]

したがって，$\mathrm{SL}_n(K)\triangleleft \mathrm{GL}_n(K)$である．

このとき，$\mathrm{SL}_n(K)$を特殊線形群(special linear group)という⁷．

直交群$\mathrm{O}_n(K)$

$n\in \mathbb{N}$，$K$を体とする．
集合
\[ \mathrm{O}_n(K)=\{ A\in \mathrm{GL}_n(K)\mid {}^tAA=I_n\} \]
は一般線形群$\mathrm{GL}_n(K)$の行列の積に関する部分群である．

$A,B\in \mathrm{O}_n(K)$を任意にとる．
このとき，$B$の逆元は$B^{-1}={}^tB$である⁸．
\[ {}^t(A{}^tB)(A{}^tB)=B{}^tAA{}^tB=B{}^tB=I_n\]
であるから
\[ A{}^tB\in \mathrm{O}_n(K)\]
したがって，$\mathrm{O}_n(K)$は$\mathrm{GL}_n(K)$の部分群である．

このとき，$\mathrm{O}_n(K)$を直交群(orthogonal group)という⁹．

特殊直交群$\mathrm{SO}_n(K)$

$n\in \mathbb{N}$，$K$を体とする．
集合
\[ \mathrm{SO}_n(K)=\mathrm{O}_n(K)\cap \mathrm{SL}_n(K)\]
は$\mathrm{O}_n(K)$の行列の積に関する部分群である．

$A,B\in \mathrm{SO}_n(K)$を任意にとる．
このとき，$B$の逆元は$B^{-1}={}^tB$である．
\[ {}^t(A{}^tB)(A{}^tB)=B{}^tAA{}^tB=B{}^tB=I_n\]
であり
\[ \det (AB^{-1})=(\det A)(\det B^{-1})=\frac{\det A}{\det B}=1\]
であるから
\[ A{}^tB\in \mathrm{SO}_n(K)\]
したがって，$\mathrm{SO}_n(K)$は$\mathrm{O}_n(K)$の部分群である．

このとき，$\mathrm{SO}_n(K)$を特殊直交群(special orthogonal group)(または回転群(rotation group))という¹⁰．

特に
\[ \mathrm{SO}_2(\mathbb{R})=\left\{ \begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}\ \middle| \ \theta \in \mathbb{R}\right\} \]
である．

斜交群$\mathrm{Sp}_{2n}(K)$

$n\in \mathbb{N}$，$K$を体とする．また，$2n$次正方行列$J_n$を
\[ J_n=\begin{pmatrix}O&I_n\\ -I_n&O\end{pmatrix}\]
とする．
集合
\[ \mathrm{Sp}_{2n}(K)=\{ A\in \mathrm{GL}_{2n}(K)\mid {}^tAJ_nA=J_n\} \]
は一般線形群$\mathrm{GL}_{2n}(K)$の行列の積に関する部分群である．

$A,B\in \mathrm{Sp}_{2n}(K)$を任意にとる．
このとき，$B$の逆元は逆行列$B^{-1}$である．
\[ {}^tBJ_nB=J_n\]
の両辺に左から${}^tB^{-1}$を，右から$B^{-1}$を掛けると
\[ J_n={}^tB^{-1}J_nB^{-1}\]
となり，このとき
\[ {}^t(AB^{-1})J_n(AB^{-1})={}^tB^{-1}{}^tAJ_nAB^{-1}={}^tB^{-1}J_nB^{-1}=J_n\]
であるから
\[ AB^{-1}\in \mathrm{Sp}_{2n}(K)\]
したがって，$\mathrm{Sp}_{2n}(K)$は$\mathrm{GL}_n(K)$の部分群である．

このとき，$\mathrm{Sp}_{2n}(K)$を斜交群(またはシンプレクティック群)(symplectic group)という¹¹．

ユニタリ群$\mathrm{U}(n)$

$n\in \mathbb{N}$とする．
集合
\[ \mathrm{U}(n)=\{ A\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\mid {}^t\overline{A}A=I_n\} \]
は一般線形群$\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$の行列の積に関する部分群である．

$A,B\in \mathrm{U}(n)$を任意にとる．
このとき，$B$の逆元は逆行列$B^{-1}$である．
\[ {}^t\overline{B}B=I_n\]
の両辺に左から${}^t\overline{B}^{-1}$を，右から$B^{-1}$を掛けると
\[ I_n={}^t\overline{B}^{-1}B^{-1}\]
となり，このとき
\[ {}^t\overline{AB^{-1}}(AB^{-1})={}^t\overline{B}^{-1}{}^t\overline{A}AB^{-1}={}^t\overline{B}^{-1}B^{-1}=I_n\]
であるから
\[ AB^{-1}\in \mathrm{U}(n)\]
したがって，$\mathrm{U}(n)$は$\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$の部分群，特に無限群である．

このとき，$\mathrm{U}(n)$をユニタリ群(unitary group)という¹²．

特殊ユニタリ群$\mathrm{SU}(n)$

$n\in \mathbb{N}$とする．
集合
\[ \mathrm{SU}(n)=\mathrm{U}(n)\cap \mathrm{SL}_n(\mathbb{C})\]
はユニタリ群$\mathrm{U}(n)$の行列の積に関する部分群である．

$A,B\in \mathrm{SU}(n)$を任意にとる．
このとき，$B$の逆元は逆行列$B^{-1}$である．
\[ {}^t\overline{B}B=I_n\]
の両辺に左から${}^t\overline{B}^{-1}$を，右から$B^{-1}$を掛けると
\[ I_n={}^t\overline{B}^{-1}B^{-1}\]
となり，このとき
\[ {}^t\overline{AB^{-1}}(AB^{-1})={}^t\overline{B}^{-1}{}^t\overline{A}AB^{-1}={}^t\overline{B}^{-1}B^{-1}=I_n\]
である．また
\[ \det (AB^{-1})=(\det A)(\det B^{-1})=\frac{\det A}{\det B}=1\]
であるから
\[ AB^{-1}\in \mathrm{SU}(n)\]
したがって，$\mathrm{SU}(n)$は$\mathrm{U}(n)$の部分群，特に無限群である．

このとき，$\mathrm{SU}(n)$を特殊ユニタリ群(special unitary group)という．

四元数群$Q_8$

\[ 1^{\prime}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\\ i^{\prime}=\begin{pmatrix}i&0\\ 0&-i\end{pmatrix}\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\\ j^{\prime}=\begin{pmatrix}0&1\\ -1&0\end{pmatrix}\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\\ k^{\prime}=\begin{pmatrix}0&i\\ i&0\end{pmatrix}\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\]
とする．
集合
\[ Q_8=\{ \pm 1^{\prime},\pm i^{\prime},\pm j^{\prime},\pm k^{\prime}\} \]
は一般線形群$\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$の行列の積に関する部分群である．

$Q_8$の乗法表は次のようになる．

$Q_8$は行列の積に関して閉じており，行列の積は結合律を満たし，単位元は$1^{\prime}\in Q_8$である．
また，$Q_8$の元それぞれの逆元は
\[ (\pm 1^{\prime})^{-1}=\pm 1^{\prime}\\ (\pm i^{\prime})^{-1}=\mp i\\ (\pm j^{\prime})^{-1}=\mp j\\ (\pm k^{\prime})^{-1}=\mp k\]
であるから(複号同順)，$Q_8$は$\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$の部分群である．

このとき，$Q_8$を四元数群(quaternion group)といい，位数$8$の有限群である．

モジュラー群$\Gamma$

$\Gamma$を行列式が$1$である整数成分の$2$次正方行列全体の集合とする．
$\Gamma$は一般線形群$\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$の行列の積に関する部分群である．

\[ A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}e&f\\ g&h\end{pmatrix}\in \Gamma \]
を任意にとる．
このとき，$B$の逆元は逆行列$B^{-1}$であり
\[ AB^{-1}=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}h&-f\\ -g&e\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ah-bg&-af+be\\ ch-dg&-cf+de\end{pmatrix}\]
である．また
\[ \det (AB^{-1})=(\det A)(\det B^{-1})=\frac{\det A}{\det B}=1\]
であるから
\[ AB^{-1}\in \Gamma \]
したがって，$\Gamma$は$\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$の部分群，特に無限群である．

このとき，$\Gamma$をモジュラー群(modular group)という．

対称移動･回転移動の群

二面体群$D_n$

$n\in \mathbb{N}$とする．
群
\[ D_n=\left\langle \begin{pmatrix}\cos \frac{2\pi}{n}&-\sin \frac{2\pi}{n}\\ \sin \frac{2\pi}{n}&\cos \frac{2\pi}{n}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}\right\rangle \]
を二面体群(dihedral group)といい，位数$2n$の有限群である¹³．

\[ \begin{pmatrix}\cos \frac{2\pi}{n}&-\sin \frac{2\pi}{n}\\ \sin \frac{2\pi}{n}&\cos \frac{2\pi}{n}\end{pmatrix}\]
は反時計回りの$\dfrac{2\pi}{n}$の回転移動を表し
\[ \begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}\]
は$x$軸に関する対称移動を表す．

クラインの四元群$V_4$

\[ V_4=\left\{ \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}\right\} \]
は群である．

\[ I=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\\ T=\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\\ T^{\prime}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}\\ TT^{\prime}=\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}\]
とおくと，$V_4$の乗法表は次のようになる．

$V_4$は行列の積に関して閉じており，行列の積は結合律を満たし，単位元は$I\in V_4$である．
また，$V_4$の元それぞれの逆元は
\[ I^{-1}=I\\ T^{-1}=T\\ (T^{\prime})^{-1}=T^{\prime}\\ (TT^{\prime})^{-1}=TT^{\prime}\]
であるから，$V_4$は可換群である．

このとき，$V_4$をクラインの四元群(Klein four-group)といい，位数$4$の有限群である．

$I$は恒等変換，$T$は$y$軸に関する対称移動，$T^{\prime}$は$x$軸に関する対称移動，$TT^{\prime}$は原点に関する対称移動を表す．

正多面体群

正多面体をそれ自身に重ねる3次元空間の回転全体の集合は群になる．この群を正多面体群(polyhedral group)という．

正四面体群(tetrahedral group)は$4$次交代群$\mathfrak{A}_4$，正六面体群(hexahedral group)及び正八面体群(octahedral group)は$4$次対称群$\mathfrak{S}_4$，正十二面体群(dodecahedral group)及び正二十面体群(icosahedral group)は$5$次交代群$\mathfrak{A}_5$と同型である．

正多面体群の元は，回転軸が頂点を通る回転移動，回転軸が辺の中点を通る回転移動，回転軸が面の重心を通る回転移動を表す．

1. 部分群であるための必要十分条件は，次の記事の定理1を参照するとよい．
   https://mathabyss.com/subgroup/ ↩︎
2. 置換の符号の性質については次の記事の命題4の①を参照するとよい．
   https://mathabyss.com/symmetric_group/#toc8 ↩︎
3. 準同型写像の核が定義域の正規部分群であることは，次の記事を参照するとよい．
   https://mathabyss.com/wait ↩︎
4. 体の定義については次の記事を参照するとよい．
   https://mathabyss.com/field/ ↩︎
5. 群論では$\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$や$\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$がよく登場する． ↩︎
6. $B$は正則行列であるから，逆行列$B^{-1}$が存在する． ↩︎
7. 群論では$\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$や$\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})$がよく登場する． ↩︎
8. $O_n(K)$の定義より，$B$の逆行列と転置行列は等しい． ↩︎
9. 群論では$\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$や$\mathrm{O}_n(\mathbb{C})$がよく登場する．これらは$\mathrm{O}(n)$と略記される場合がある． ↩︎
10. 群論では$\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$や$\mathrm{SO}_n(\mathbb{C})$がよく登場する．これらは$\mathrm{SO}(n)$と略記される場合がある． ↩︎
11. 群論では$\mathrm{Sp}_{2n}(\mathbb{R})$や$\mathrm{Sp}_{2n}(\mathbb{C})$がよく登場する．斜交群と呼ばれる群はもう一つあり，注意が必要である． ↩︎
12. ユニタリ群は一般の体についても定義される． ↩︎
13. 群の生成については次の記事を参照するとよい．
    https://mathabyss.com/generating_set_of_a_group/ ↩︎