実数列の極限を拡大実数上に拡張すると，極限の性質はより強力なものになる．
拡大実数の点列と極限の定義
$\overline{\mathbb{R}}$上で極限を定義するために，次の概念を導入する．
$a:\mathbb{N}\to \overline{\mathbb{R}}$を写像とする．
$a$を点列(sequence)といい，$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$で表す．
また，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して，$a(n)$を$a_n$で表す．
つまり，点列は$\overline{\mathbb{R}}$上の｢数列｣のことである．
$x\in \overline{\mathbb{R}}$とし，$U$を次の条件を満たす集合とする．
- $x\in \mathbb{R}$のとき，ある$\varepsilon >0$が存在して，$U=(x-\varepsilon ,x+\varepsilon )$となる．
- $x=+\infty$のとき，ある$a\in \mathbb{R}$が存在して，$a<x$かつ
\[ U=(a,+\infty ]=\{ t\in \overline{\mathbb{R}}\mid a<x\le +\infty \} \]
となる． - $x=-\infty$のとき，ある$a\in \mathbb{R}$が存在して，$a>x$かつ
\[ U=[-\infty ,a)=\{ t\in \overline{\mathbb{R}}\mid -\infty \le x<a\} \]
となる．
このとき，$U$を$x$の近傍(neighborhood)という．
近傍の概念を用いることにより，$\overline{\mathbb{R}}$上の極限を定義することができる．
$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を点列，$\alpha \in \overline{\mathbb{R}}$とする．
$\alpha$の任意の近傍$U$に対して，ある$N\in \mathbb{N}$が存在して，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して，$n\ge N$ならば$a_n\in U$となるとき，$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$は$\alpha$に収束する(converge)といい
\[ \lim _{n\to \infty}a_n=\alpha \quad (または\quad a_n\to \alpha (n\to \infty ))\]
で表す．
このとき，$\alpha$を$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$の極限(limit)という．
近傍の定義から，定義6は実数列の極限の定義($\varepsilon$-$N$論法)の一般化であることが分かる．
$\overline{\mathbb{R}}$上の極限では，$\mathbb{R}$上で｢正の無限大に発散する｣，｢負の無限大に発散する｣とされていたものが，それぞれ｢$+\infty$に収束する｣，｢$-\infty$に収束する｣と言い換えられる．すなわち，$\mathbb{R}$上では収束しない数列(点列)は，$\overline{\mathbb{R}}$上で収束する場合がある．
点列の極限の性質
極限の一意性
点列の極限は一意的である．
$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を点列，$\alpha ,\beta \in \overline{\mathbb{R}}$を$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$の極限とする．
このとき，$\alpha$の任意の近傍$U_1$に対して，ある$N_1\in \mathbb{N}$が存在して，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して，$n\ge N_1$ならば$a_n\in U_1$となる．
また，$\beta$の任意の近傍$U_2$に対して，ある$N_2\in \mathbb{N}$が存在して，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して，$n\ge N_2$ならば$a_n\in U_2$となる．
$N=\max \{ N_1,N_2\}$とすると，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して，$n\ge N$ならば$a_n\in U_1$かつ$a_n\in U_2$，すなわち$a_n\in U_1\cap U_2$となる．特に，$U_1\cap U_2$は空でない．
以下，$\alpha \neq \beta$と仮定する．$\alpha$と$\beta$の対称性に注意する．
$\alpha$の近傍$U_1$と$\beta$の近傍$U_2$を
\[ U_1=\begin{dcases}\left( \alpha -\frac{|\alpha -\beta |}{2},\alpha +\frac{|\alpha -\beta |}{2}\right) &(\alpha ,\beta \in \mathbb{R})\\ (\beta +1,+\infty ]&(\alpha =+\infty ,\beta \in \mathbb{R})\\ [-\infty ,\beta -1)&(\alpha =-\infty ,\beta \in \mathbb{R})\\ (0,+\infty ]&(\alpha =+\infty ,\beta =-\infty )\end{dcases}\]
\[ U_1=\begin{dcases}\left( \beta -\frac{|\alpha -\beta |}{2},\beta +\frac{|\alpha -\beta |}{2}\right) &(\alpha ,\beta \in \mathbb{R})\\ (\beta -1,\beta +1)&(\alpha =\pm \infty ,\beta \in \mathbb{R})\\ [-\infty ,0)&(\alpha =+\infty ,\beta =-\infty )\end{dcases}\]
このとき，いずれの場合も$U_1\cap U_2=\emptyset$となり矛盾．
したがって，$\alpha =\beta$である．$\blacksquare$
有界単調数列の収束定理の拡張
$\mathbb{R}$を特徴づける連続の公理によって，有界単調数列の収束定理を導くことができたが，$\overline{\mathbb{R}}$においては，より強力な結果を得ることができる．
$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を点列とする．
- 任意の$n\in \mathbb{N}$に対して，$a_n\le a_{n+1}$が成り立つとき，$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を広義単調増加列(weakly monotonically increasing sequence)(または広義増加列(weakly increasing sequence))という．
- 任意の$n\in \mathbb{N}$に対して，$a_n\ge a_{n+1}$が成り立つとき，$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を広義単調減少列(weakly monotonically decreasing sequence)(または広義減少列(weakly decreasing sequence))という．
$\overline{\mathbb{R}}$の任意の部分集合に対して，その上界と下界が存在することから，次の定理が成り立つ．
- 広義単調増加列は収束する．
- 広義単調減少列は収束する．
- $\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を広義単調増加列，$\alpha =\sup \{ a_n\mid n\in \mathbb{N}\}$とする．
上限の定義より，$\alpha$の任意の近傍$U$に対して，ある$N\in \mathbb{N}$が存在して，$a_N\in U$となる．
特に，$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$は広義単調増加列であるから，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して，$n\ge N$ならば$a_n\in U$となる．
したがって，$\displaystyle \lim _{n\to \infty}a_n=\alpha$である．$\blacksquare$ - $\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を広義単調減少列，$\alpha =\inf \{ a_n\mid n\in \mathbb{N}\}$とする．
上限の定義より，$\alpha$の任意の近傍$U$に対して，ある$N\in \mathbb{N}$が存在して，$a_N\in U$となる．
特に，$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$は広義単調減少列であるから，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して，$n\ge N$ならば$a_n\in U$となる．
したがって，$\displaystyle \lim _{n\to \infty}a_n=\alpha$である．$\blacksquare$
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の拡張
$\overline{\mathbb{R}}$上の点列を考えることで，ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理を拡張することができる．
任意の実数列は$\overline{\mathbb{R}}$において収束する$\mathbb{R}$の部分列を持つ．
$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を実数列とする．
$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$が有界であるとき，ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理より，$\mathbb{R}$において収束する部分列を持つ．
$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$が上に有界でないとき，狭義単調増加である正の整数列$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$を
\[ \begin{aligned}n_1&=\min \{ m\in \mathbb{N}\mid a_m>1\} \\ n_{k+1}&=\min \{ m\in \mathbb{N}\mid a_m>k+1かつm>n_k\} \quad (k\in \mathbb{N})\end{aligned}\]
により定めることができ，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$a_{n_k}>k$となるから，追い出しの原理より$\displaystyle \lim _{k\to \infty}a_{n_k}=+\infty$が成り立つ．
$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$が下に有界でないとき，狭義単調増加である正の整数列$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$を
\[ \begin{aligned}n_1&=\min \{ m\in \mathbb{N}\mid a_m<-1\} \\ n_{k+1}&=\min \{ m\in \mathbb{N}\mid a_m<-k-1かつm>n_k\} \quad (k\in \mathbb{N})\end{aligned}\]
により定めることができ，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$a_{n_k}<-k$となるから，追い出しの原理より$\displaystyle \lim _{k\to \infty}a_{n_k}=-\infty$が成り立つ．$\blacksquare$
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理では，有界な実数列に対しては，収束する部分列が存在することを保証していたが，$\overline{\mathbb{R}}$上での極限を考えることで，任意の実数列に対して，$\overline{\mathbb{R}}$上収束する部分列が存在することを保証できるのである．
最後に，部分列の極限に関する用語を定義しておく．
$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を実数列，$\alpha \in \overline{\mathbb{R}}$とする．
ある狭義単調増加である正の整数列$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$が存在して，$\alpha =\displaystyle \lim _{k\to \infty}a_{n_k}$となるとき，$\alpha$を$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$の集積点(accumulation point)(または極限点(limit point))という．