正規部分群による剰余類は，群構造が入る．すなわち，正規部分群が見つかると，新たな部分群を構成することができる．
剰余群
正規部分群による剰余類に対して，次の演算を導入する．
$G$を群，$N\triangleleft G$とする．
$G/N$上の演算を
\[ gN\cdot hN=(gh)N\quad (g,h\in G)\]
により定めるとき，$G/N$は群である．
- 演算がwell-definedであること，すなわち任意の$g_1,g_2,h_1,h_2\in G$に対して，$g_1N=g_2N$かつ$h_1N=h_2N$ならば
\[ (g_1h_1)N=(g_2h_2)N\]
であることを示す．- 任意の$g_1h_1n_1\in g_1h_1N$に対して，$h_1n_1\in h_1N$であるから，$h_1N=h_2N$より，$h_1n_1\in h_2N$
このとき，ある$n_2\in N$が存在して
\[ h_1n_1=h_2n_2\]
となる．$N\triangleleft G$であるから
\[ h_2n_2h_2^{-1}=h_1n_1h_2^{-1}\in N\]
このとき
\[ g_1h_1n_1h_2^{-1}\in g_1N\]
であるから，$g_1N=g_2N=Ng_2$より，ある$n_3\in N$が存在して
\[ g_1h_1n_1h_2^{-1}=n_3g_2\]
となる．よって
\[ g_1h_1n_1=n_3g_2h_2\]
であるから
\[ g_1h_1n_1\in N(g_2h_2)=(g_2h_2)N\]
したがって$(g_1h_1)N\subset (g_2h_2)N$である． - また，任意の$g_2h_2n^{\prime}_1\in g_2h_2N$に対して，$h_2n^{\prime}_1\in h_2N$であるから，$h_2N=h_1N$より，$h_2n^{\prime}_1\in h_1N$
このとき，ある$n^{\prime}_2\in N$が存在して
\[ h_2n^{\prime}_1=h_1n^{\prime}_2\]
となる．$N\triangleleft G$であるから
\[ h_1n^{\prime}_2h_1^{-1}=h_2n^{\prime}_1h_1^{-1}\in N\]
このとき
\[ g_2h_2n^{\prime}_1h_1^{-1}\in g_2N\]
であるから，$g_2N=g_1N=Ng_1$より，ある$n^{\prime}_3\in N$が存在して
\[ g_2h_2n^{\prime}_1h_1^{-1}=n^{\prime}_3g_1\]
となる．よって
\[ g_2h_2n^{\prime}_1=n^{\prime}_3g_1h_1\]
であるから
\[ g_2h_2n^{\prime}_1\in N(g_1h_1)=(g_1h_1)N\]
したがって$(g_2h_2)N\subset (g_1h_1)N$である．
- 任意の$g_1h_1n_1\in g_1h_1N$に対して，$h_1n_1\in h_1N$であるから，$h_1N=h_2N$より，$h_1n_1\in h_2N$
- 任意の$g,h\in G$に対して，$gh\in G$であるから，$gN\cdot hN\in G/N$
- $G$は群であるから，任意の$g_1,g_2,g_3\in G$に対して
\[ \begin{aligned}(g_1N\cdot g_2N)\cdot g_3N&=(g_1g_2)N\cdot g_3N\\ &=(g_1g_2g_3)N\\ &=g_1N\cdot (g_2g_3)N\\ &=g_1N\cdot (g_2N\cdot g_3N)\end{aligned}\] - $N\in G/N$であり，任意の$g\in G$に対して
\[ gN\cdot N=gN=N\cdot gN\]
であるから，$N$は単位元である． - 任意の$g\in G$に対して，$g^{-1}N\in G/N$であり
\[ gN\cdot g^{-1}N=N=g^{-1}N\cdot gN\]
であるから，$g^{-1}N$は$gN$の逆元である．
以上より，$G/N$は群である．$\blacksquare$
補題1より，正規部分群による剰余類は群である．
$G$を群，$N$を正規部分群とする．
$G/N$上の演算が
\[ gN\cdot hN=(gh)N\quad (g,h\in G)\]
により定められているとき，$G/N$を$G$の$N$による剰余群(または商群)(quotient group, factor group)という．
剰余群を考えるとき，射影を考えることは自然である．
$G$を群，$N$を正規部分群とする．
写像$\pi :G\to G/N$を
\[ \pi (g)=gN\quad (g\in G)\]
により定めるとき，$\pi$は全射準同型であり，$\operatorname{Ker}\pi =N$である．
$\pi$が全射であることは明らかであるから，$\pi$が準同型写像であることを示せばよい．
任意の$g,h\in G$に対して
\[ \begin{aligned}&\pi (gh)=(gh)N\\ =&gN\cdot hN=\pi (g)\pi (h)\end{aligned}\]
であるから，$\pi$は準同型写像である．
また，任意の$x\in N$に対して
\[ \pi (x)=xN=\{ xn\mid n\in N\} =N\]
であり，任意の$y\in G\setminus N$1に対して
\[ \pi (y)=yN\]
であるから，$y\in yN$であるが，$y\not\in N$であるから
\[ \pi (y)\neq N\]
以上より，$\operatorname{Ker}\pi =N$である．$\blacksquare$
$G$を可換群，$H$を$G$の部分群とする．
$G/H$は可換群である．
任意の$a,b\in G$に対して
\[ \begin{aligned}&aH\cdot bH=(ab)H\\ =&(ba)H=bH\cdot aH\end{aligned}\]
であるから，$G/H$は可換群である．$\blacksquare$
剰余群を考えることは非常に重要であり，群論における一つの目標となる定理である，準同型定理や同型定理を導くことができる．これにより，複数の群の関係性を調べることが容易になる．
剰余群の例
剰余群の例をいくつか紹介しよう．
$G$を群とする．
- $G/G=\{ G\}$である．
実際，$G\triangleleft G$であり
\[ G/G=\{ gG\mid g\in G\} =\{ G\} \]
である． - $G/\{ e\} =\{ \{ g\} \mid g\in G\}$である．
実際，$\{ e\} \triangleleft G$であり
\[ \begin{aligned}G/\{ e\} &=\{ g\{ e\} \mid g\in G\} \\ &=\{ \{ g\} \mid g\in G\} \end{aligned}\]
である．
$n\in \mathbb{N}\cup \{ 0\}$とする．
まず，$n\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$の正規部分群である．
実際，$n\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$の部分群であり，$\mathbb{Z}$は可換群であるから，$n\mathbb{Z}\triangleleft \mathbb{Z}$である2．
また
\[ \begin{aligned}\overline{0}&=\{ m\mid \in m\in n\mathbb{Z}\} \\ \overline{1}&=\{ m+1\mid m\in n\mathbb{Z}\} \\ &\vdots \\ \overline{n-1}&=\{ m+n-1\mid m\in n\mathbb{Z}\} \end{aligned}\]
とおくと
\[ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{ \overline{0},\overline{1},\dots ,\overline{n-1}\} \]
である．
よって
\[ |\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}|=n\]
である．
これは，$\mathbb{Z}$を$n$で割ったときの余りで分類することに他ならない．
以下の記事の命題2によると，内部自己同型群は自己同型群の正規部分群であった．
よって，自己同型群の内部自己同型群による剰余群を考えることができる．
$G$を群とする．
$\operatorname{Aut}G/\operatorname{Inn}G$を外部自己同型群(outer automorphism group)といい，$\operatorname{Out}G$で表す．
- $G\setminus N$は差集合である． ↩︎
- 可換群の部分群が正規部分群であることについては，以下の記事の命題1を参照するとよい．
https://mathabyss.com/normal_subgroup#toc1 ↩︎ - 交代群が対称群の正規部分群であることについては，以下の記事の例2を参照するとよい．
https://mathabyss.com/normal_subgroup#toc2 ↩︎ - $\mathfrak{S}_n\setminus \mathfrak{A}_n$は差集合である． ↩︎