実数の大小関係

実数とは，ある17個の性質が成り立つ数の集合のことである．ここでは，そのうち大小関係に関わる6個の性質について詳しく扱う．

実数とは，ある17個の性質が成り立つ数の集合のことである．ここでは，そのうち四則演算に関わる10個の性質について詳しく扱う．実数の公理日本の数学教育においては，算数で正の整数やhttps://mathabyss.com/real_number-arithmetic_operation$，正の有理数，円周率を教わり，中学数学で負の整数や負の有理...

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実数の公理
$\mathbb{R}$ 上の順序関係
順序集合
参考文献

実数の公理

日本の数学教育においては，算数で正の整数や $0$ ，正の有理数，円周率を教わり，中学数学で負の整数や負の有理数，無理数(特に平方根)を教わり，高校数学で｢実数｣という用語が登場し，平方根以外の無理数(特に三角関数や対数，ネイピア数)を教わる．さらに，高校数学では複素数についても教わる．

そんな数の集合を厳密に定義するのは容易なことではない．実際にはペアノの公理によって自然数を構成するところから始める必要がある．しかし，これは数学基礎論や集合論で論じられることである．この記事では(実数の厳密な定義について少しだけ述べるものの)，解析学の観点から実数について解説する．そのため，実数の存在を認めるところから議論を始めることとする．

さて，解析学の立場では，実数全体の集合 $\mathbb{R}$ を，いくつかの性質を満たすものとして，その存在を認めることが多い．この記事では，以下の公理1を｢実数の公理｣と呼ぶことにする．

公理1(実数の公理)

次の17個の性質をすべて満たす集合 $\mathbb{R}$ の元を実数(real number)という．

$\forall x,y\in \mathbb{R},x+y=y+x$
$\forall x,y,z\in \mathbb{R},(x+y)+z=x+(y+z)$
$\exists 0\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R},x+0=0+x=x$
$\forall x\in \mathbb{R},\exists -x\in \mathbb{R},x+(-x)=0$
$\forall x,y\in \mathbb{R},xy=yx$
$\forall x,y,z\in \mathbb{R},(xy)z=x(yz)$
$\exists 1\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R},x1=1x=x$
$\forall x\in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} ,\exists x^{-1}\in \mathbb{R},xx^{-1}=1$
$\forall x,y,z\in \mathbb{R},x(y+z)=xy+xz$
$0\neq 1$
$\forall x\in \mathbb{R},x\le x$
$\forall x,y\in \mathbb{R}[[x\le y\land y\le x]\implies x=y]$
$\forall x,y,z\in \mathbb{R}[[x\le y\land y\le z]\implies x\le z]$
$\forall x,y\in \mathbb{R}[x\le y\lor y\le x]$
$\forall x,y,z\in \mathbb{R}[x\le y\implies x+z\le y+z]$
$\forall x,y\in \mathbb{R}[[0\le x\land 0\le y]\implies 0\le xy]$
$\forall X\subset \mathbb{R}[[X\neq \emptyset \land [\exists M\in \mathbb{R},\forall x\in X,x\le M]]\implies \exists \alpha \in \mathbb{R}[[\forall x\in X,x\le \alpha ]\land [\forall \varepsilon \in \mathbb{R}[[\varepsilon \neq 0\land 0\le \varepsilon ]\implies [\exists x\in X[\alpha -\varepsilon \neq x\land \alpha -\varepsilon \le x]]]]]]$

公理1は論理記号のみを用いて書かれているため，非常に分かりづらい．これらを論理記号を用いずに日本語で記述すると，次のようになる．

公理2(実数の公理)

任意の実数 $x,y$ に対し， $x+y=y+x$
任意の実数 $x,y,z$ に対し， $(x+y)+z=x+(y+z)$
任意の実数 $x$ に対し， $x+0=0$ となる実数 $0$ が存在する．
任意の実数 $x$ に対し， $x+(-x)=0$ となる実数 $-x$ が存在する．
任意の実数 $x,y$ に対し， $xy=yx$
任意の実数 $x,y,z$ に対し， $(xy)z=x(yz)$
任意の実数 $x$ に対し， $x1=x$ となる実数 $1$ が存在する．
任意の $0$ でない実数 $x$ に対し， $xx^{-1}=1$ となる実数 $x^{-1}$ が存在する．
任意の実数 $x,y,z$ に対し， $x(y+z)=xy+xz$
$0$ と $1$ は異なる．
任意の実数 $x$ に対し， $x\le x$
任意の実数 $x,y$ に対し，( $x\le y$ かつ $y\le x$ )ならば $x=y$
任意の実数 $x,y,z$ に対し，( $x\le y$ かつ $y\le z$ )ならば $x\le z$
任意の実数 $x,y$ に対し， $x\le y$ と $y\le x$ の少なくとも一方が成り立つ．
任意の実数 $x,y,z$ に対し， $x\le y$ ならば $x+z\le y+z$
任意の実数 $x,y$ に対し，( $0\le x$ かつ $0\le y$ )ならば $0\le xy$
任意の空でない上に有界な集合 $X\subset \mathbb{R}$ に対し， $X$ の上限が存在する．

$\mathbb{R}$ 上の順序関係

$\mathbb{R}$ 上には順序関係が定義されている．順序関係は二項関係の一種で，次のように定義される概念である．

定義1

集合 $X$ に対し， $R\subset X\times X$ を $X$ 上の二項関係(binary relation)といい， $(a,b)\in R$ を $aRb$ で表す．

定義2

集合 $X$ に対し， $X$ 上の二項関係 $\le$ が次の4つの条件をすべて満たすとき， $\le$ を $X$ 上の全順序(total order)という．

(反射律(reflexivity)) $\forall x\in X[x\le x]$
(反対称律(antisymmetry)) $\forall x,y\in X[[x\le y\land y\le x]\implies x=y]$
(推移律(transitivity)) $\forall x,y,z\in X[[x\le y\land y\le z]\implies x\le z]$
(全順序律(totality)(または完全律)) $\forall x,y\in X[x\le y\lor y\le x]$

反射律と推移律を満たす二項関係は前順序(preorder)(または擬順序(quasiorder))，反射律と反対称律と推移律を満たす二項関係は半順序(partial order)という．

詳細は次の記事を参照するとよい．

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$\mathbb{R}$ 上の順序関係は次のように定められる．

定義3

$\mathbb{R}$ 上の二項関係 $\le$ を
$\le =\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\mid xはyより小さいか等しい\}$
により定める．

実数の大小関係についての厳密な定義は以下の記事に委ねることにし，ここでは， $\mathbb{R}$ 上の二項関係として $\le$ が存在しているということを認めることとする．

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全順序性

公理3

$\forall x\in \mathbb{R},x\le x$
$\forall x,y\in \mathbb{R}[[x\le y\land y\le x]\implies x=y]$
$\forall x,y,z\in \mathbb{R}[[x\le y\land y\le z]\implies x\le z]$
$\forall x,y\in \mathbb{R}[x\le y\lor y\le x]$

論理記号を用いずに書くと，次のようになる．

公理4

任意の実数 $x$ に対し， $x\le x$
任意の実数 $x,y$ に対し，( $x\le y$ かつ $y\le x$ )ならば $x=y$
任意の実数 $x,y,z$ に対し，( $x\le y$ かつ $y\le z$ )ならば $x\le z$
任意の実数 $x,y$ に対し， $x\le y$ と $y\le x$ の少なくとも一方が成り立つ．

実数の公理11～14は順序関係についての主張である．

この公理は，二項関係 $\le$ の反射律を保証している．
この公理は，二項関係 $\le$ の反対称律を保証している．
この公理は，二項関係 $\le$ の推移律を保証している．

この3つの公理により，二項関係 $\le$ が半順序であることが分かる．

この公理は，順序関係 $\le$ の全順序性を保証している．つまり，どんな2つの実数に対しても，何らかの順序関係があるということである．

そして，この公理により，二項関係 $\le$ が全順序であることが分かる．

逆順序･狭義順序

定義4

$x,y\in \mathbb{R}$ に対し， $x\le y$ を $y\ge x$ (または $x\leqq y$ ， $y\geqq x$ ， $x\leqslant y$ ， $y\geqslant x$ )とも表し， $x$ は $y$ 以下である(または $y$ は $x$ 以上である)という．

$x,y\in \mathbb{R}$ に対し，二項関係 $<$ を
$<=\{ (x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\mid x\le y\land x\neq y\}$
により定める． $x<y$ を $y>x$ とも表し， $x$ は $y$ より小さい(または $y$ は $x$ より大きい)という．

特に， $x\in \mathbb{R}$ に対し， $x>0$ であるとき， $x$ は正であるといい， $x$ を正の数(positive number)という．また， $x<0$ であるとき， $x$ は負であるといい， $x$ を負の数(negative number)という．

高校までの数学では， $\leqq$ や $\geqq$ がよく用いられていたが，大学数学以降は $\le$ や $\ge$ を用いることが多い．これは，世界的に見ても後者の表記がよく用いられているためであると考えられる．

順序関係と演算

公理5

$\forall x,y,z\in \mathbb{R}[x\le y\implies x+z\le y+z]$
$\forall x,y\in \mathbb{R}[[0\le x\land 0\le y]\implies 0\le xy]$

論理記号を用いずに書くと，次のようになる．

公理6

任意の実数 $x,y,z$ に対し， $x\le y$ ならば $x+z\le y+z$
任意の実数 $x,y$ に対し，( $0\le x$ かつ $0\le y$ )ならば $0\le xy$

実数の公理15，16は順序関係と演算(加法と乗法)についての主張である．

この公理は，不等式の両辺に同じ実数を加えても，不等式が成り立つことを保証している．
この公理は， $0$ 以上の実数どうしの積も $0$ 以上であることを保証している． $0$ が加法の単位元であることに注意が必要である．

順序集合

実数の大小関係は $\mathbb{R}$ 上の順序関係として定義されているが，これは次のような概念に一般化できる．

定義5

集合 $X$ において，半順序 $\le$ が定義されているとき， $X$ を順序集合といい， $(X,\le )$ で表す．
特に， $\le$ が全順序であるとき， $(X,\le )$ を全順序集合という．

定義6

全順序集合 $(X,\le )$ に対し， $X$ 上の演算 $+$ と $\times$ が定義されているとき，任意の $x,y\in X$ に対し， $+(x,y)$ を $x+y$ で， $\times (x,y)$ を $xy$ で表すことにする． $X$ が演算 $+,\times$ について体であり，次の2つの条件をすべて満たすとき， $(X,\le )$ を順序体という．

順序体には次のような性質がある．

命題1

$(X,\le )$ を順序体， $a,b\in X$ とする． $a<b$ ならば，ある $c\in X$ が存在し， $a<c<b$ となる．

ただし， $(X,\le )$ 上の狭義順序 $<$ は
$<=\{ (x,y)\in X\times X\mid x\le y\land x\neq y\}$
により定める．

命題1の証明

$c=2^{-1}(a+b)$ とすればよい．実際
$\begin{aligned}a&=1a=(2^{-1}2)a=2^{-1}(2a)=2^{-1}((1+1)a)\\ &=2^{-1}(1a+1a)=2^{-1}(a+a)<2^{-1}(a+b)\\ &<2^{-1}(b+b)=2^{-1}(1b+1b)=2^{-1}((1+1)b)\\ &=2^{-1}(2b)=(2^{-1}2)b=1b=b\end{aligned}$
である． $\blacksquare$

$\mathbb{R}$ は順序体であるから，命題1が成り立つ．これを $\mathbb{R}$ は稠密順序集合であるという．

参考文献

この記事を含め，｢微分積分学｣のカテゴリーに属する記事は，以下の書籍･PDFファイル･Webサイトを参考文献としています(それぞれの記事について，以下に掲載していない参考文献がある場合は，逐一掲載しています)．

書籍

杉浦光夫, 『解析入門I』, 基礎数学2, 東京大学出版会, 1980年.
杉浦光夫, 『解析入門II』, 基礎数学3, 東京大学出版会, 1985年.
杉浦光夫, 清水英男, 金子晃, 岡本和夫, 『解析演習』, 基礎数学7, 東京大学出版会, 1989年.
高木貞治, 『定本解析概論』, 岩波書店, 2010年.
松坂和夫, 『解析入門上』, 松坂和夫数学入門シリーズ, 新装版, 岩波書店, 2018年.
松坂和夫, 『解析入門中』, 松坂和夫数学入門シリーズ, 新装版, 岩波書店, 2018年.
松坂和夫, 『解析入門下』, 松坂和夫数学入門シリーズ, 新装版, 岩波書店, 2018年.
藤岡敦, 『手を動かしてまなぶ ε-δ論法』, 裳華房, 2021年.
藤岡敦, 『手を動かしてまなぶ微分積分』, 裳華房, 2019年.
志賀浩二, 『微分･積分30講』, 数学30講シリーズ1, 新装改版, 朝倉書店, 2024年.
齋藤正彦, 『齋藤正彦微分積分学』, 東京図書, 2006年.
加藤文元, 『大学教養微分積分』, 数研講座シリーズ, 数研出版, 2019年.
『大学教養微分積分』, 加藤文元(監修), 数研出版編集部(編著), チャート式シリーズ, 数研出版, 2019年.
小寺平治, 『明解演習微分積分』, 明解演習シリーズ2, 共立出版, 1984年.

実数の公理

R\mathbb{R}R上の順序関係

全順序性

逆順序･狭義順序

順序関係と演算

順序集合

参考文献

書籍

PDFファイル

Webサイト

追記

$\mathbb{R}$ 上の順序関係