実数に対して実数列を考えたのと同様に，ユークリッド空間に対して点列を考えることができる．ユークリッド空間の開集合や閉集合は，点列の性質に言い換えることができる．
点列
点列は$\mathbb{N}$からの写像として定義する．
$n\in \mathbb{N}$，$A\subset \mathbb{R}^n$とする．
- 写像$a:\mathbb{N}\to A$を$A$の点列(sequence)といい，$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$で表す．
- $k\in \mathbb{N}$とする．
$a(k)$を点列$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$の第$k$項($k$-th term)といい，$\bm{a}_k$で表す．
$\varepsilon$-$N$論法と同様にして，点列の収束を定義する．
$n\in \mathbb{N}$，$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$を$\mathbb{R}^n$の点列，$\bm{a}\in \mathbb{R}^n$とする．
任意の$\varepsilon >0$に対して，ある$K\in \mathbb{N}$が存在して，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$k\ge K$ならば
\[ \| \bm{a}_k-\bm{a}\| <\varepsilon \]
となるとき，点列$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$は$\bm{a}$に収束する(converge)といい
\[ \lim _{k\to \infty}\bm{a}_k=\bm{a}\]
または
\[ \bm{a}_k\to \bm{a}\quad (k\to \infty )\]
で表し，$\bm{a}$を$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$の極限(limit)という．
$\mathbb{R}^2$の点列$\{ \bm{a}_n\} _{n=1}^{\infty}$を
\[ \bm{a}_n=\left( \frac{1}{n},1-\frac{1}{n^2}\right) \quad (n\in \mathbb{N})\]
により定める．
$\varepsilon >0$を任意にとる．
\[ N=\left\lfloor \frac{2}{\varepsilon}\right\rfloor +1\in \mathbb{N}\]
\[ \bm{a}=(0,1)\]
とおくと，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して，$n\ge N$ならば
\[ \begin{aligned}\| \bm{a}_n-\bm{a}\| &=\left\| \left( \frac{1}{n},-\frac{1}{n^2}\right) \right\| \\ &=\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}\\ &=\frac{\sqrt{1+n^2}}{n^2}\\ &<\frac{\sqrt{1+2n+n^2}}{n^2}\\ &=\frac{1+n}{n^2}<\frac{n+n}{n^2}\\ &=\frac{2}{n}\le \frac{2}{N}<2\cdot \frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{aligned}\]
となるから
\[ \lim _{n\to \infty}\bm{a}_n=\bm{a}\]
数列の有界性と同様に，点列の有界性を定義する．
$n\in \mathbb{N}$，$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$を$\mathbb{R}^n$の点列とする．
ある$M\in \mathbb{R}$が存在して，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$\| \bm{a}_k\| \le M$となるとき，$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$は有界(bounded)であるという．
このとき，次の命題が成り立つ．
$n\in \mathbb{N}$とする．
収束する$\mathbb{R}^n$の点列は有界である．
$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$を$\{ \mathbb{R}^n\}$の収束する点列，$\bm{a}$を$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$の極限とする．
このとき，ある$K\in \mathbb{N}$が存在して，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$k\ge K$ならば
\[ \| \bm{a}_k-\bm{a}\| <1\]
すなわち
\[ \| \bm{a}_k\| \le \| \bm{a}_k-\bm{a}\| +\| \bm{a}\| <\| \bm{a}\| +1\]
となる．
\[ M=\max \{ \| \bm{a}_1\| ,\| \bm{a}_2\| ,\dots ,\| \bm{a}_{K-1}\| ,\| \bm{a}\| +1\} \]
とおくと，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して
\[ \| \bm{a}_k\| \le M\]
となる．$\blacksquare$
点列の部分列についても定義しておく．
$n\in \mathbb{N}$，$A\subset \mathbb{R}^n$，$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$を$A$の点列，$\{ k_l\} _{l=1}^{\infty}$を狭義単調増加である正の整数列とする．
点列$\{ \bm{a}_{k_l}\} _{l=1}^{\infty}$を$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$の部分列(subsequence)という．
実数列の場合と同様に，部分列の収束について，次の命題が成り立つ．
$n\in \mathbb{N}$，$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$を$\mathbb{R}^n$の点列，$\{ \bm{a}_{k_l}\} _{l=1}^{\infty}$を$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$の部分列，$\bm{a}\in \mathbb{R}^n$とする．
$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$が$\bm{a}$に収束するならば，$\{ \bm{a}_{k_l}\} _{l=1}^{\infty}$は$\bm{a}$に収束する．
$\varepsilon >0$を任意にとる．
$\displaystyle \lim _{k\to \infty}\bm{a}_k=\bm{a}$より，ある$K\in \mathbb{N}$が存在して，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$k\ge K$ならば
\[ \| \bm{a}_k-\bm{a}\| <\varepsilon \]
となる．
任意の$l\in \mathbb{N}$に対して，$l\ge K$ならば$k_l\ge K$であるから
\[ \| \bm{a}-\bm{a}_{k_l}\| <\varepsilon \]
となる．よって
\[ \lim _{l\to \infty}\bm{a}_{k_l}=\bm{a}\]
である．$\blacksquare$
点列と開集合･閉集合
点列の収束性は，開集合を用いて次のように言い換えることができる．
$n\in \mathbb{N}$，$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$を$\mathbb{R}^n$の点列，$\bm{a}\in \mathbb{R}^n$とする．
点列$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$が$\bm{a}$に収束することの必要十分条件は，$\bm{a}$を元に持つ$\mathbb{R}^n$の任意の開集合$U$に対して，ある$K\in \mathbb{N}$が存在して，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$k\ge K$ならば$\bm{a}_k\in U$となることである．
まず，必要性を示す．
$\bm{a}\in U$より，ある$\varepsilon >0$が存在して
\[ B(\bm{a};\varepsilon )\subset U\]
となる．
$\displaystyle \lim _{k\to \infty}\bm{a}_k=\bm{a}$より，ある$K\in \mathbb{N}$が存在して，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$k\ge K$ならば
\[ \| \bm{a}_k-\bm{a}\| <\varepsilon \]
すなわち
\[ \bm{a}_k\in B(\bm{a};\varepsilon )\subset U\]
となる．
次に，十分性を示す．
任意の$\varepsilon >0$に対して，$B(\bm{a};\varepsilon )$は$\bm{a}$を元に持つ$\bm{a}$の開集合であり，ある$K\in \mathbb{N}$が存在して，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$k\ge K$ならば
\[ \bm{a}_k\in B(\bm{a};\varepsilon )\]
すなわち
\[ \| \bm{a}_k-\bm{a}\| <\varepsilon \]
となる．よって
\[ \lim _{k\to \infty}\bm{a}_k=\bm{a}\]
である．$\blacksquare$
また，ユークリッド空間の部分集合が開集合であることは，点列を用いて次のように言い換えることができる．
$n\in \mathbb{N}$，$U$を$\mathbb{R}^n$の空でない部分集合とする．
$U$が$\mathbb{R}^n$の開集合であることの必要十分条件は，任意の$\bm{a}\in U$と$\bm{a}$に収束する任意の点列$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$に対して，ある$K\in \mathbb{N}$が存在して，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$k\ge K$ならば$\bm{a}_k\in U$となることである．
まず，必要性を示す．
$U$が開集合ならば，ある$\varepsilon >0$が存在して
\[ B(\bm{a};\varepsilon )\subset U\]
となる．このとき，ある$K\in \mathbb{N}$が存在して，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$k\ge K$ならば
\[ \| \bm{a}_k-\bm{a}\| <\varepsilon \]
すなわち
\[ \bm{a}_k\in B(\bm{a};\varepsilon )\subset U\]
となる．
次に，十分性を対偶について示す．
$U$が$\mathbb{R}^n$の開集合でないとき，ある$\bm{a}\in U$が存在して，任意の$\varepsilon >0$に対して
\[ B(\bm{a};\varepsilon )\not\subset U\]
となる．よって，点列$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$を
\[ \bm{a}_k\in B\left( \bm{a};\frac{1}{k}\right) \quad (k\in \mathbb{N})\]
となるように適当に選ぶことができる．
任意の$\varepsilon >0$に対して
\[ K=\left\lfloor \frac{1}{\varepsilon}\right\rfloor +1\in \mathbb{N}\]
とおくと，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$k\ge K$ならば
\[ \| \bm{a}_k-\bm{a}\| <\frac{1}{k}\le \frac{1}{K}<\varepsilon \]
となる．よって
\[ \lim _{k\to \infty}\bm{a}_k=\bm{a}\]
である．
ここで，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$\bm{a}_k\not\in U$となる．
したがって，対偶は真であるから，元の命題も真である．$\blacksquare$
定理2と同様に，ユークリッド空間の部分集合が閉集合であることを点列を用いて言い換えることができる．
$n\in \mathbb{N}$，$F$を$\mathbb{R}^n$の空でない部分集合とする．
$F$が$\mathbb{R}^n$の閉集合であることの必要十分条件は，$\mathbb{R}^n$上収束する$F$の任意の点列$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$に対して，$\displaystyle \lim _{k\to \infty}\bm{a}_k\in F$となることである．
まず，必要性を示す．
$\bm{a}=\displaystyle \lim _{k\to \infty}\bm{a}_k$とする．
$\bm{a}\in \mathbb{R}^n\setminus F$であると仮定すると，$\mathbb{R}^n\setminus F$は開集合であるから，ある$\varepsilon >0$が存在して
\[ B(\bm{a};\varepsilon )\subset \mathbb{R}^n\setminus F\]
となる．
このとき，ある$K\in \mathbb{N}$が存在して，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$k\ge K$ならば
\[ \| \bm{a}_k-\bm{a}\| <\varepsilon \]
すなわち
\[ \bm{a}_k\in B(\bm{a};\varepsilon )\subset \mathbb{R}^n\setminus F\]
となり，$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$が$F$上の点列であることに矛盾する．
よって，$\bm{a}\in F$である．
次に，十分性を対偶について示す．
$F$が$\mathbb{R}^n$の閉集合でない，すなわち$\mathbb{R}^n\setminus F$が開集合でないとき，ある$\bm{a}\in \mathbb{R}^n\setminus F$が存在して，任意の$\varepsilon >0$に対して
\[ B(\bm{a};\varepsilon )\not\subset \mathbb{R}^n\setminus F\]
すなわち
\[ B(\bm{a};\varepsilon )\cap F\neq \emptyset \]
となる．よって，$F$上の点列$\{ \bm{a}_k\} _{k=1}^{\infty}$を
\[ \bm{a}_k\in B\left( \bm{a};\frac{1}{k}\right) \cap F\quad (k\in \mathbb{N})\]
となるように適当に選ぶことができる．
任意の$\varepsilon >0$に対して
\[ K=\left\lfloor \frac{1}{\varepsilon}\right\rfloor +1\in \mathbb{N}\]
とおくと，任意の$k\in \mathbb{N}$に対して，$k\ge K$ならば
\[ \| \bm{a}_k-\bm{a}\| <\frac{1}{k}\le \frac{1}{K}<\varepsilon \]
となる．よって
\[ \lim _{k\to \infty}\bm{a}_k=\bm{a}\not\in F\]
である．
したがって，対偶は真であるから，元の命題も真である．$\blacksquare$