部分群

部分群
部分群に関する命題
部分群の例

定義1

$G$を群，$H\subset G$とする．$H$が$G$上の演算に関して群であるとき，$H$を$G$の部分群(subgroup)という．

部分群の基本性質を確認しよう．

命題1

$H$を群$G$の部分群とするとき，次が成り立つ．

$e_G=e_H$
任意の$a\in H$に対し，$a$の$G$における逆元と$H$における逆元は等しい．

命題1の証明

単位元の定義より，$e_He_H=e_H$が成り立つ．
また，$H\subset G$より$e_H\in G$であるから$e_He_G=e_H$が成り立つ．
よって$e_Ge_H=e_He_H$
ここで，両辺に$e_H$の$G$における逆元$e_H^{-1}$を右から掛けると$e_G=e_H$が従う．$\blacksquare$
$a$の$G,H$における逆元をそれぞれ$b,c$とすると
\[ ab=ba=e_G,\quad ac=ca=e_H\]
が成り立つ．①より$ab=ac$であるから，両辺に左から$b$を掛けると$b=c$が従う．$\blacksquare$

部分群であることは，次のように言い換えることができる．

定理1

$G$を群，$H\subset G$とする．次の3つの命題は互いに同値である．

$H$は$G$の部分群である．
$H$は次の3つの条件をすべて満たす．
- $e_G\in H$
- 任意の$x,y\in H$に対し，$xy\in H$
- 任意の$x\in H$に対し，$x^{-1}\in H$
任意の$x,y\in H$に対し，$xy^{-1}\in H$

定理1の証明

①$\implies$②を示す．

命題1の①より，$e_G=e_H\in H$
また，$H$は群であるから，$G$上の演算について閉じている．よって，任意の$x,y\in H$1に対し，$xy\in H$である．
さらに，$H$は群であるから，任意の$x\in H$に対し，ある$y\in H$が存在し，$xy=yx=1_H=1_G$となる．$H\subset G$より$y\in G$であるから，$y=x^{-1}$である．よって$x^{-1}\in H$である．

②$\implies$③を示す．

任意の$x,y\in H$に対し，$y^{-1}\in H$であるから，明らかに$xy^{-1}\in H$である．

③$\implies$①を示す．

まず，任意の$x,y,z\in H$に対し，$x,y,z\in H$であるから，$(xy)z=x(yz)$である．
任意の$x\in H$に対し，$e_G=xx^{-1}\in H$であり，$xe_G=e_Gx=x$が成り立つから，$e_H=e_G$である．
よって，任意の$x\in H$に対し，$x^{-1}=1_Hx^{-1}\in H$である．
また，任意の$x,y$に対し，$y^{-1}\in H$であり，$xy=x(y^{-1})^{-1}\in H$である．
以上より，$H$は$G$の部分群である．

したがって，定理1が成り立つ．$\blacksquare$

部分群であることの証明には，定理1の③を用いて簡潔に示すことができる場合が多い．

定義2

$G$を群とするとき，$\{ e\}$は$G$の部分群であり，$G$の自明な部分群という．

また，$G$でない$G$の部分群を真部分群(proper subgroup)という．

定義2で，$\{ e\},G$が$G$の部分群であることを確認しよう．

まず，$\{ e\}$については，$e$の逆元は$e$であるから，$ee^{-1}=e\in \{ e\}$である．よって，定理1より$\{ e\} \in G$は$G$の部分群である．

また，$G\subset G$であるから，明らかに$G$は$G$の部分群である．

部分群に関する命題

まずは，部分群の基本的な性質を2つ紹介する．

命題2

可換群の部分群は可換群である．

命題2の証明

$H$を可換群$G$の部分群とする．任意の$x,y\in H$に対し，$H\subset G$より$ab=ba$であるから，$H$は可換群である．$\blacksquare$

命題3

$H$を群$G$の部分群，$I$を$H$の部分群とするとき，$I$は$G$の部分群である．

命題3の証明

部分群の定義より明らかである．$\blacksquare$

部分群の共通部分は部分群である．

命題4

$H_1,H_2$を群$G$の部分群とするとき，$H_1\cap H_2$は$G$の部分群である．

命題4の証明

任意の$x,y\in H_1\cap H_2$に対し，$x,y\in H_1$かつ$x,y\in H_2$である．
定理1より，$xy^{-1}\in H_1$かつ$xy^{-1}\in H_2$であるから，$xy^{-1}\in H_1\cap H_2$である．
したがって，$H_1\cap H_2$は$G$の部分群である．$\blacksquare$

部分群の和集合は部分群であるとは限らない．その必要十分条件は次で与えられる．

命題5

$H_1,H_2$を群$G$の部分群とする．次の2つの命題は同値である．

$H_1\cup H_2$は$G$の部分群である．
$H_1\subset H_2$または$H_2\subset H_1$が成り立つ．

命題5の証明

①$\implies$②を示す．

ある$x\in H_1\setminus H_2,y\in H_2\setminus H_2$が存在すると仮定する．
このとき，$z=xy\in H_1\cup H_2$である．
$z\in H_1$のとき，両辺に左から$x^{-1}\in H_1$を掛けると$y=x^{-1}z\in H_1$となり矛盾．
同様に$z\in H_2$のとき，両辺に右から$y^{-1}\in H_2$を掛けると$x=zy^{-1}\in H_2$となり矛盾．
以上より，$H_1\subset H_2$または$H_2\subset H_1$が成り立つ．$\blacksquare$

②$\implies$①を示す．

$H_1\subset H_2\subset G$のとき，任意の$x,y\in H_1\cup H_2=H_2$に対し，$xy^{-1}\in H_2=H_1\cup H_2$が成り立つから，定理1より$H_1\cup H_2$は$G$の部分群である．$\blacksquare$

部分群の例

例1

$\mathbb{Z}$は通常の加法に関して群である．$n\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}$を
\[ n\mathbb{Z}=\{ nx\mid x\in \mathbb{Z}\} \]
により定めると，$n\mathbb{Z}$は通常の加法に関して，$\mathbb{Z}$の部分群である．

実際，任意の$a,b\in n\mathbb{Z}$に対し，ある$x,y\in \mathbb{Z}$が存在し
\[ a=nx,\quad b=ny\]
となる．$b$の逆元は$-b=-ny$であるから
\[ a+(-b)=nx+(-ny)=n(x-y)\in n\mathbb{Z}\]
が成り立つ．よって，定理1より従う．

例2

$\{ \pm 1,\pm i\} \subset \mathbb{C}^{\times}$は通常の乗法に関して，$\mathbb{C}^{\times}$の部分群である．

実際，$1$の逆元は$1$，$-1$の逆元は$-1$，$i$の逆元は$-i$，$-i$の逆元は$i$であり，