数列の項を順序を変えずに取り出すことによって得られる数列の性質について考える．
部分列
$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を数列とする．狭義単調増加である正の整数の数列$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$に対し，$\{ a_{n_k}\} _{k=1}^{\infty}$を$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$の部分列(subsequence)という．
定義1を注意深く理解すると，$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$は$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$から取り出す項の番号を抽出した数列であり，$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$の狭義単調増加性から，部分列は元の数列の項の順序を保つことが分かる．
具体例を通して，部分列の定義を確認しよう．
数列$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を
\[ a_n=\begin{cases}n&(nは偶数)\\ -n&(nは奇数)\end{cases}\quad (n\in \mathbb{N})\]
により定める．また，数列$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$を
\[ n_k=2k\quad (k\in \mathbb{N})\]
により定めると，任意の$k\in \mathbb{N}$に対し
\[ n_k=2k\in \mathbb{N}\]
\[ n_k=2k<2(k+1)=n_{k+1}\]
が成り立つから，$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$は狭義単調増加な正の整数の数列である．したがって
\[ a_{n_k}=a_{2k}=2k\quad (k\in \mathbb{N})\]
によって定まる数列$\{ a_{n_k}\} _{k=1}^{\infty}$は$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$の部分列である．
数列$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を
\[ a_n=\cos \frac{\pi n}{3}\quad (n\in \mathbb{N})\]
により定める．また，数列$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$を
\[ n_k=6k+1\quad (k\in \mathbb{N})\]
により定めると，任意の$k\in \mathbb{N}$に対し
\[ n_k=6k+1\in \mathbb{N}\]
\[ n_k=6k+1<6(k+1)+1=n_{k+1}\]
が成り立つから，$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$は狭義単調増加な正の整数の数列である．したがって
\[ a_{n_k}=a_{6k+1}=\cos \frac{6k+1}{3}\pi =\cos \left( 2\pi k+\frac{\pi}{3}\right) =\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\quad (k\in \mathbb{N})\]
によって定まる数列$\{ a_{n_k}\} _{k=1}^{\infty}$は$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$の部分列である．
部分列の性質
まずは，狭義単調増加な正の整数の数列について成り立つことを確認しよう．
$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$を狭義単調増加である正の整数の数列とすると，任意の$k\in \mathbb{N}$に対し$k\le n_k$が成り立つ．
$k$に関する数学的帰納法で示す．
$k=1$のとき，$n_1\in \mathbb{N}$であるから，$1\le n_1$が成り立つ．
$k=l$で$l\le n(l)$が成り立つと仮定すると，$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$の狭義単調増加性より
\[ n_l<n_{l+1}\]
であり，$n_l,n_{l+1}\in \mathbb{N}$であるから
\[ l+1\le n_l+1\le n_{l+1}\]
すなわち$k=l+1$のときも成り立つ．
以上より，任意の$k\in \mathbb{N}$に対し$k\le n(k)$が成り立つ．$\blacksquare$
部分列の特に重要な性質として，次がある．
$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を数列，$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$を狭義単調増加である正の整数の数列とする．
ある$\alpha \in \mathbb{R}$が存在し，$\displaystyle \lim _{n\to \infty}a_n=\alpha$となるならば，$\displaystyle \lim _{k\to \infty}a_{n_k}=\alpha$が成り立つ．
$\displaystyle \lim _{n\to \infty}a_n=\alpha$であるから，任意の$\varepsilon >0$に対し，ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，$n\ge N$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ |a_n-\alpha |<\varepsilon \]
が成り立つ．命題1より$k\le n_k$であるから，$k\ge N$となる任意の$k\in \mathbb{N}$に対し$n_k\ge N$が成り立ち
\[ |a_{n_k}-\alpha |<\varepsilon\]
が成り立つ．したがって$\displaystyle \lim _{k\to \infty}a_{n_k}=\alpha$である．$\blacksquare$
定理1は，収束する数列の部分列も同じ値に収束することを主張している．
数列$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}\quad (n\in \mathbb{N})\]
により定める．また，数列$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$を
\[ n_k=2k\quad (k\in \mathbb{N})\]
により定めると，$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$は狭義単調増加な正の整数の数列である．したがって
\[ a_{n_k}=\frac{(-1)^{2k}}{2k}=\frac{1}{2k}\quad (k\in \mathbb{N})\]
によって定まる数列$\{ a_{n_k}\} _{k=1}^{\infty}$は$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$の部分列である．
ここで
\[ \lim _{n\to \infty}a_n=\lim _{n\to \infty}\frac{(-1)^n}{n}=0\]
である．実際，任意の$\varepsilon >0$に対し，$N=\left\lceil \dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil +1\in \mathbb{N}$とすると，$n\ge N$となる任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ |a_n-0|=\left| \frac{(-1)^n}{n}\right| =\frac{1}{n}\le \frac{1}{N}<\varepsilon \]
が成り立つ．また
\[ \lim _{k\to \infty}a_{n_k}=\lim _{k\to \infty}\frac{1}{2k}=0\]
であるから
\[ \lim _{n\to \infty}a_n=\lim _{k\to \infty}a_{n_k}\]
が従う．
定理1の逆は成り立たない．すなわち，収束する部分列を持つ数列は収束するとは限らない．
数列$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を
\[ a_n=(-1)^n\quad (n\in \mathbb{N})\]
により定める．また，数列$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$を
\[ n_k=2k\quad (k\in \mathbb{N})\]
により定めると，$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$は狭義単調増加な正の整数の数列である．したがって
\[ a_{n_k}=(-1)^{2k}=1\quad (k\in \mathbb{N})\]
によって定まる数列$\{ a_{n_k}\} _{k=1}^{\infty}$は$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$の部分列である．
ここで，$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$は収束しない．
実際，任意の$\alpha \in \mathbb{R}$に対し，$\varepsilon =1-|\alpha |$とすると，任意の$N\in \mathbb{N}$に対し，$n\ge N$となる$n\in \mathbb{N}$をとると
\[ |a_n-\alpha |=|(-1)^n-\alpha |\ge 1-|\alpha |=\varepsilon \]
が成り立つ．また
\[ \lim _{k\to \infty}a_{n_k}=\lim _{k\to \infty}1=1\]
である．