代数学群の例
群論では，様々な群の例が登場する．ここでは，重要度の高い群を列挙してまとめた．加法･乗法の群$\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$$\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathb...
大学数学
代数学
代数学1次独立･1次従属
1次独立･1次従属$\mathbb{R}^3$において，2つのベクトル$\bm{a},\bm{b}\in \mathbb{R}^3$が与えられたとき，例えば次のような平面$\alpha$が定まる．このとき，もう1つのベクトル$\bm{c}\...
複素関数論複素平面
複素数を視覚的･直感的に理解するために欠かせない複素平面を導入する．複素平面写像$f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{C}$を\により定めると，$f$は全単射である．よって，この逆写像$f^{-1}$によって，複素数を平面$...
複素関数論複素数
複素数の定義まず，複素数の定義について述べる．実数から複素数を構成する詳しい方法(集合論的構成)や，代数的性質については別記事で述べている．素朴な定義$x$についての$2$次方程式\は実数解を持たない．ここで，この方程式を満たす実数でない解...
代数学正規部分群
剰余類は群構造を持つとは限らない．剰余類に群構造を入れる手段に一つとして，正規部分群を導入する．正規部分群定義1$G$を群，$H$を$G$の部分群とする．任意の$g\in G$と任意の$h\in H$に対して，$ghg^{-1}\in H$...
代数学行列指数関数
指数関数指数関数について簡単に復習しておく．$a\in \mathbb{R}$と$n\in \mathbb{N}$に対して，$a^n$は次のように定義される．\より厳密には，次のように帰納的に定義される．\このとき，次の指数法則が成り立って...
代数学行列
線形代数学では行列と呼ばれる数学的対象を取り扱う．行列を考えることで，$n$次元ユークリッド空間の線形変換を機械的な計算で扱うことができるようになる．行列の導入高校数学では，ベクトルの成分表示を扱った．これは，$2$次元平面上のベクトルを2...
代数学ベクトル空間の基底と次元
ベクトル空間を特徴づける概念として，基底と次元を定義する．ベクトル空間の生成いくつかのベクトルが与えられたとき，それらの1次関係で表されるベクトル全体の集合はベクトル空間になる．補題1$n\in \mathbb{N}$，$K$を体，$V$を...
代数学基底の延長定理･基底の存在定理
零空間でない任意のベクトル空間に対して，基底が存在することを示す．基底の延長定理部分空間の基底にいくつかベクトルを付け加えることで，元のベクトル空間の基底を構成できる．定理1(基底の延長定理)$m,n\in \mathbb{N}$は$m<n...
代数学ベクトル空間の基底変換
ベクトル空間には様々な基底の取り方がある．任意のベクトルは基底の1次結合の形で表現できるが，基底を変えるとどのようになるのだろうか．ベクトル空間の基底と成分ベクトル空間の基底は，ベクトル空間に座標を設定することと等価である．座標を定めるには...