数学基礎論 全射と単射
2つの集合の関係を記述する写像において，非常に重要な概念である｢全射｣と｢単射｣について述べる．全射と単射の定義全射の定義定義1$X$を集合，$Y$を空でない集合とし，$f:X\to Y$を写像とする．任意の$y\in Y$に対して，ある$...
大学数学
数学基礎論 
数学基礎論 像と逆像
写像によって定義される重要な集合である像と逆像についてまとめた．像と逆像の定義像写像の像は，次のように定義される．定義1$X$を集合，$Y$を空でない集合とし，$f:X\to Y$を写像とする．$A$を$X$の部分集合とする．集合\を$f$...
数学基礎論 写像
写像の定義とその意義について徹底的に解説する．写像定義1$X,Y$を集合とする．任意の$x\in X$に対して，ある$y\in Y$をただ一つ対応させるという規則を$f$とするとき\で表し，$f$を$X$から$Y$への写像(mapping,...
代数学 群の例
群論では，様々な群の例が登場する．ここでは，重要度の高い群を列挙してまとめた．加法･乗法の群$\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$$\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathb...
代数学 1次独立･1次従属
1次独立･1次従属$\mathbb{R}^3$において，2つのベクトル$\bm{a},\bm{b}\in \mathbb{R}^3$が与えられたとき，例えば次のような平面$\alpha$が定まる．このとき，もう1つのベクトル$\bm{c}\...
複素関数論 複素平面
複素数を視覚的･直感的に理解するために欠かせない複素平面を導入する．複素平面写像$f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{C}$を\により定めると，$f$は全単射である．よって，この逆写像$f^{-1}$によって，複素数を平面$...
複素関数論 複素数
複素数の定義まず，複素数の定義について述べる．実数から複素数を構成する詳しい方法(集合論的構成)や，代数的性質については別記事で述べている．素朴な定義$x$についての$2$次方程式\は実数解を持たない．ここで，この方程式を満たす実数でない解...
代数学 正規部分群
剰余類は群構造を持つとは限らない．剰余類に群構造を入れる手段に一つとして，正規部分群を導入する．正規部分群定義1$G$を群，$H$を$G$の部分群とする．任意の$g\in G$と任意の$h\in H$に対して，$ghg^{-1}\in H$...
代数学 行列指数関数
指数関数指数関数について簡単に復習しておく．$a\in \mathbb{R}$と$n\in \mathbb{N}$に対して，$a^n$は次のように定義される．\より厳密には，次のように帰納的に定義される．\このとき，次の指数法則が成り立って...
代数学 行列
線形代数学では行列と呼ばれる数学的対象を取り扱う．行列を考えることで，$n$次元ユークリッド空間の線形変換を機械的な計算で扱うことができるようになる．行列の導入高校数学では，ベクトルの成分表示を扱った．これは，$2$次元平面上のベクトルを2...