数学基礎論集合
集合とは，｢ものの集まり｣を表す，ほとんどすべての数学の土台を築いている概念である．集合の定義(素朴集合論)定義1明確に定義された数学的対象の集まりを集合(set)といい，集合を構成する各数学的要素を，その集合の元(または元素，要素)(el...
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数学基礎論
代数学ベクトル空間
ベクトル空間とは，2つの演算と8つの性質を満たす集合のことである．ベクトル空間の定義さて，線形代数や微分積分の世界では，実数の集合$\mathbb{R}$は次のような性質を満たすものとして考えていた．公理1実数全体の集合$\mathbb{R...
数学基礎論集合論とは
集合論が発展した歴史とともに，集合論の数学での役割をまとめた．素朴集合論高校数学で扱われる集合論や，大学数学の基礎として扱われる集合論は，詳しく言うと素朴集合論と呼ばれる．これは，非形式的な自然言語によって展開される集合論であり，数学者ゲオ...
数学基礎論全称と存在
全称命題と存在命題の定義と，その否定についてまとめた．全称記号次の命題$P$を考える．$P$:$n$が正の整数$\implies n>0$$n$が正の整数であることと，$n$が$1,2,\dots $のいずれかと等しいことは同値であるから，...
数学基礎論論理演算の性質
命題の論理演算についての基本性質をまとめた．これらの性質は，論理記号を日本語で解釈することによって，直感的に理解することができる．この記事では，$P,Q,R$を命題とする．論理和･論理積の性質まず，直感的に成り立つのは当然のように思える性質...
数学基礎論命題
すべての数学の土台となる｢命題｣の論理についてまとめた．命題論理学における命題は，次のように説明される．定義11正しいか正しくないかが客観的に判断できる主張を命題(proposition)という．命題が正しいとき，その命題は真(true)で...
微分積分学区間縮小法 ～主張･証明を解説～
区間縮小法とは実数の閉区間を狭めていくと，やがて1つの実数にたどり着くという命題である．この記事では，直感的に正しそうなこの定理を数学的に厳密な証明を与える．区間縮小法の主張定理1(区間縮小法(nested intervals))任意の$n...
微分積分学有界単調数列の収束定理
数列の有界性と単調性は収束性と結びついている．この記事では，その関係を数学的に証明する．有界単調数列の収束定理の主張この記事での｢単調｣は，｢広義単調｣を指すものとして考えて問題ない．定理1(有界単調数列の収束定理)$\{ a_n\} _{...
微分積分学アルキメデスの原理 ～主張･証明を解説～
archimedean_propertyこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらからアルキメデスの原理とは，2つの正の実数があるとき，一方を何倍かすれば，必ずもう一方よりも大きくなるという命題です．アルキメデスの原理とは任意の正...
微分積分学数列の極限 ～ε-N論法の本質を徹底解説～
limit_of_sequenceこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらから数列の極限とは，$\varepsilon$-$N$論法によって厳密に定義される，解析学において非常に重要な概念です．数列の極限とは$\{ a_n\} ...