位相空間論位相
距離関数を用いて開集合を定義するのではなく，距離関数が定義されていない一般の集合に対しても開集合を定義するために，位相を導入する．位相の定義空でない集合に対して，その位相を次のように定義する．定義1$X$を空でない集合，$X$の部分集合族$...
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位相空間論
位相空間論位相空間論とは
位相空間論が発展した歴史とともに，位相空間や距離空間を定義する動機や直感的イメージをまとめた．$\mathbb{R}$の性質実数全体の集合$\mathbb{R}$は，数直線を用いることで可視化することができた．まず，1つの実数は直線上の1点...
微分積分学コーシー列
極限値を求めることなく数列の収束性を判定する方法として，コーシー列の概念を導入する．コーシー列定義1$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を数列とする．任意の$\varepsilon >0$に対し，ある$N\in \mathb...
微分積分学ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理
実数を特徴づける部分列の最も重要な性質であるボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理の主張と証明を解説する．ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理定理1(ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理(Bolzano-Weierstrass theo...
微分積分学部分列
数列の項を順序を変えずに取り出すことによって得られる数列の性質について考える．部分列定義1$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$を数列とする．狭義単調増加である正の整数の数列$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$...
微分積分学数列の単調性
数列の項の特徴として，その大小関係を考えることは非常に有効である．ここでは数列の単調性についての定義をまとめた．数列の単調性数列の単調性は，次の4つに分類できる．狭義単調増加$\forall n\in \mathbb{N},a_n<a_{n...
代数学一般線形群と特殊線形群
一般線形群定義1体$K$上のベクトル空間$V$の全単射な線形変換全体の集合を$V$の一般線形群(general linear group)といい，$\mathrm{GL}(V)$で表す．定義1は，次のように言い換えることができる．定義2$n...
代数学部分群
部分群定義1$G$を群，$H\subset G$とする．$H$が$G$上の演算に関して群であるとき，$H$を$G$の部分群(subgroup)という．部分群の基本性質を確認しよう．命題1$H$を群$G$の部分群とするとき，次が成り立つ．$e...
代数学体
体の定義体では，環と同様に2つの演算を考える．この記事では，集合$S$上の二項演算$\phi ,\psi$を\で表すことにする．体の定義には環やその周辺の概念についての定義の理解が欠かせない．詳しくは以下の記事を参照するとよい．この記事を含...
数学C【高校数学】ベクトル
ベクトルまず，ベクトルの定義を理解しよう．有向線分$\rm AB$→点$\rm A$から点$\rm B$に向かう向きを指定した線分有向線分$\rm AB$の始点→$\rm A$有向線分$\rm AB$の終点→$\rm B$ベクトル→向きと大...