高校数学Problems #1【難易度B 文系整数】

難易度について

難易度はABCDの4段階です．筆者の主観により難易度を決定していますが，主な基準としては次のようになっています．

難易度	主な基準	目安
A	教科書や標準的な参考書･問題集に掲載されている知識を使って解くことのできる問題	教科書･定期試験･共通テスト序盤レベル
B	標準的な参考書･問題集に掲載されている，一度解いたことがあれば解くことのできる典型問題とその応用問題	共通テスト終盤･標準私立大学･標準国公立大学レベル
C	少しの工夫で典型問題に帰着したり，誘導問題を適切に利用することで解くことができる問題	難関国公立大学･難関私立大学･医学部レベル
D	初見では解法が思いつきにくく，多少の発想力が求められる問題	東京一工･早慶･難関医大レベル

分野･単元について

すべての問題は以下の18の高校数学の分野･単元でカテゴライズしています(理系数学の内容には下線を付しています)．

集合	集合と命題(数学I)
整数	整数(数学A)
実数	実数(数学I)
複素数	複素数(数学II)，複素数平面(数学C)
方程式	2次方程式(数学I)，高次方程式(数学II)
恒等式･不等式	整式，1次不等式，2次不等式(数学I)，恒等式，不等式(数学II)
図形と計量	三角比(数学I)，初等幾何(数学A)
ベクトル	ベクトル(数学C)
図形と方程式	座標幾何，軌跡，領域(数学II)
2次関数	2次関数(数学I)
三角関数	三角関数(数学II)
指数対数	指数関数，対数関数(数学II)
その他の関数	分数関数，無理関数，関数の極限(数学III)，2次曲線，媒介変数表示，極方程式(数学C)
数列	数列(数学B)，数列の極限(数学III)
微分	微分(数学II)，微分(数学III)
積分	積分(数学II)，積分(数学III)
場合の数･確率	場合の数，確率(数学A)
統計	統計(数学I)，確率分布(数学B)

問題

どの位の数も $9$ でない $4$ 桁の平方数であって，すべての桁に $1$ を加えることによって得られる整数も平方数となるものをすべて求めよ．

(自作問題)

この問題は筆者による自作問題のつもりですが，既に他の方が作問していたり，有名なものだったりするかもしれません．万一そのような情報をご存じの場合は，お手数をおかけしますがお問い合わせフォームよりご連絡いただけると幸いです．

【大学入試】整数問題の解法

積の形を作る:因数分解などで整数と整数の積の形を作る
→素因数分解の一意性を利用する
剰余に注目する:合同式などを用いて整数で割ったときの余りを考える
→剰余で整数を絞り込む
不等式で範囲を絞り込む:大小関係を定めて不等式を作る
→不等式で整数を絞り込む

次のような数式への変換を考えられるかどうかがポイント．
平方数→ $n$ を正の整数として $n^2$ と表される正の整数
$4$ 桁の正の整数→ $a,b,c,d$ を $0$ 以上 $9$ 以下の整数(ただし $a\neq 0$ )として $1000a+100b+10c+d$ と表される
$4$ 桁の正の整数のすべての桁に $1$ を加える→ $4$ 桁の正の整数に $1111$ を加える

発想

｢どの位の数も $9$ でない $4$ 桁の平方数｣について考えると，このような数は次のように表される．

$1000a+100b+10c+d=n^2$

ただし， $a,b,c,d$ を $0$ 以上 $8$ 以下の正の整数， $a\neq 0$ ， $n$ を整数とした．

この数のすべての桁に $1$ を加えるということは，この数に $1111$ を加えるということであるから

$1000(a+1)+100(b+1)+10(c+1)+(d+1)=n^2+1111$

こうして得られる整数も平方数となることから

$n^2+1111=m^2$

と表される．ただし， $m$ を整数とした．

今求めたいのは $n^2$ であることに注意してこの式を変形する．まず，文字と整数を分離すると

$m^2-n^2=1111$

ここで，左辺を因数分解，右辺を素因数分解すると

$(m+n)(m-n)=11\times 101$

よって， $m,n$ が整数であることと， $m+n>m-n$ に注意すると，次の2パターンに絞られる．

$\begin{cases}m+n=101\\ m-n=11\end{cases}\qquad \begin{cases}m+n=1111\\ m-n=1\end{cases}$

それぞれの連立方程式を解くと，前者の解は

$(m,n)=(56,45)$

であり，このとき $n^2=45^2=2025$ はどの桁も $9$ でない $4$ 桁の整数である．一方，後者の解は

$(m,n)=(556,555)$

であり，このとき $n^2=555^2>100^2=10000$ は $4$ 桁の整数でない．

以上より，求めたい整数は $2025$ のみであることが分かった．

解答

求める整数は $a$ を整数として $a^2$ と表される．このとき， $a^2$ のすべての桁に $1$ を加える，すなわち $a^2$ に $1111$ を加えて得られる整数は， $b$ を整数として $b^2$ と表されるから
$a^2+1111=b^2$
すなわち
$(b+a)(b-a)=11\times 101$
を考えればよい． $b+a>b-a$ に注意すると
$\begin{cases}b+a=1111\\ b-a=1\end{cases}\quad または\quad \begin{cases}b+a=101\\ b-a=11\end{cases}$
これを解くと，それぞれ $(a,b)=(555,556),(45,56)$ となるが， $a^2$ はどの位の数も $9$ でない4桁の正の整数であるから， $(a,b)=(555,556)$ は不適．よって $45^2=\color{red}{2025}$