コーシー列

$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$をコーシー列とすると，ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$n\ge N$ならば
\[ |a_n-a_N|<1\]
すなわち
\[ a_N-1<a_n<a_N+1\]
が成り立つ．ここで
\[ M=\max (\{ a_i\mid i\in \mathbb{N}\land i<N\} \cup \{ |a_N\pm 1|\} )\]
とおくと，任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
\[ |a_n|\le M\]
が成り立つ．よって$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$は有界である．$\blacksquare$

狭義単調増加な正の整数の数列$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$に対し，$\{ a_{n_k}\} _{k=1}^{\infty}$を$\alpha$に収束する$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$の部分列とする．$\varepsilon >0$を任意にとる．

$\displaystyle \lim _{k\to \infty}a_{n_k}=\alpha$より，ある$N_1\in \mathbb{N}$が存在し，任意の$k\in \mathbb{N}$に対し，$n_k\ge k\ge N_1$ならば
\[ |a_{n_k}-\alpha |<\frac{\varepsilon}{2}\]
が成り立つ．

$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$はコーシー列であるから，ある$N_2\in \mathbb{N}$が存在し，任意の$n,k\in \mathbb{N}$に対し，$n,n_k\ge N_2$ならば
\[ |a_n-a_{n_k}|<\varepsilon \]
が成り立つ．

したがって，$N=\max \{ N_1,N_2\}$とおくと，任意の$n,k\in \mathbb{N}$に対し，$n,n_k\ge N$ならば
\[ |a_n-\alpha |\le |a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-\alpha |<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \]
が成り立つから，$\displaystyle \lim _{n\to \infty}a_n=\alpha$が従う，$\blacksquare$

①$\implies$②を示す．
$\displaystyle \lim _{n\to \infty}a_n=\alpha \in \mathbb{R}$とすると，任意の$\varepsilon >0$に対し，ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$n\ge N$ならば
\[ |a_n-\alpha |<\frac{\varepsilon}{2}\]
が成り立つ．
よって，任意の$m,n\in \mathbb{N}$に対し，$m,n\ge N$ならば
\[ |a_m-a_n|\le |a_m-\varepsilon |+|\varepsilon -a_n|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \]
が成り立つから，$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$はコーシー列である．

②$\implies$①を示す．
命題1より$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$は有界であるから，ボルツァーノ･ワイエルシュトラスの定理より，ある$\alpha \in \mathbb{R}$と狭義単調増加な正の整数の数列$\{ n_k\} _{k=1}^{\infty}$が存在し，$\{ a_{n_k}\} _{k=1}^{\infty}$は$\alpha$に収束する．
よって命題2より，$\displaystyle \lim _{n\to \infty}a_n=\alpha$である．$\blacksquare$

①$\implies$②を示す．
$\displaystyle \lim _{n\to \infty}a_n=\alpha \in \mathbb{R}$とすると，任意の$\varepsilon >0$に対し，ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$n\ge N$ならば
\[ |a_n-\alpha |<\frac{\varepsilon}{2}\]
が成り立つ．
よって，任意の$m,n\in \mathbb{N}$に対し，$m,n\ge N$ならば
\[ |a_m-a_n|\le |a_m-\varepsilon |+|\varepsilon -a_n|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \]
が成り立つから，$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$はコーシー列である．

②$\implies$①を示す．
$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$はコーシー列であるから，任意の$\varepsilon >0$に対し，ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$n\ge N$ならば
\[ |a_n-a_N|<\frac{\varepsilon}{2}\]
すなわち
\[ a_N-\frac{\varepsilon}{2}<a_n<a_N+\frac{\varepsilon}{2}\]
が成り立つ．ここで
\[ a_N-\frac{\varepsilon}{2}<\inf _{n\ge N}a_n\le \liminf _{n\to \infty}a_n\le \limsup _{n\to \infty}a_n\le \sup _{n\ge N}a_n<a_N+\frac{\varepsilon}{2}\]
より
\[ 0\le \limsup _{n\to \infty}a_n-\liminf _{n\to \infty}a_n<\left( a_n+\frac{\varepsilon}{2}\right) -\left( a_n-\frac{\varepsilon}{2}\right) =\varepsilon \]
が任意の正の実数$\varepsilon$に対して成り立つことに注意すると
\[ \limsup _{n\to \infty}a_n=\liminf _{n\to \infty}a_n\]
である．命題1より$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$は有界であるから，$\displaystyle \lim _{n\to \infty}a_n=\alpha$である．$\blacksquare$

$\displaystyle \lim _{n\to \infty}a_n=\alpha \in \mathbb{Q}$とすると，任意の$\varepsilon >0$に対し，ある$N\in \mathbb{N}$が存在し，任意の$n\in \mathbb{N}$に対し，$n\ge N$ならば
\[ |a_n-\alpha |<\frac{\varepsilon}{2}\]
が成り立つ．
よって，任意の$m,n\in \mathbb{N}$に対し，$m,n\ge N$ならば
\[ |a_m-a_n|\le |a_m-\varepsilon |+|\varepsilon -a_n|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \]
が成り立つから，$\{ a_n\} _{n=1}^{\infty}$は有理コーシー列である．