距離関数を用いて開集合を定義するのではなく，距離関数が定義されていない一般の集合に対しても開集合を定義するために，位相を導入する．
位相の定義
空でない集合に対して，その位相を次のように定義する．
$X$を空でない集合，$X$の部分集合族$\mathcal{O}$が次の3つの条件をすべて満たすとき，$\mathcal{O}$は$X$の位相(topology)(または開集合系(open sets))であるという．
- $\emptyset \in \mathcal{O}$かつ$X\in \mathcal{O}$
- $O_1,O_2\in \mathcal{O}\implies O_1\cap O_2\in \mathcal{O}$
- $\{ O_{\lambda}\} _{\lambda \in \Lambda}$を$\Lambda$を添字集合とする集合族とする．
\[ \forall \lambda \in \Lambda ,O_{\lambda}\in \mathcal{O}\implies \bigcup _{\lambda \in \Lambda}O_{\lambda}\in \mathcal{O}\]
このとき，$X$を位相空間(topological apace)といい，$(X,\mathcal{O})$で表す．
また，$\mathcal{O}$の元を$(X,\mathcal{O})$の$\mathcal{O}$-開集合($\mathcal{O}-open set)(または単に開集合(open set))といい，$X$の元を$(X,\mathcal{O})$の点(point)という．
位相空間は，距離空間で定義された開集合が満たす3つの性質に基づいて，逆にこれらの性質を満たすものを開集合と定義することにより導入される．
位相の定義の2つ目と3つ目の違いを解説する．
2つ目は｢$\mathcal{O}$の有限個の元の共通部分もまた$\mathcal{O}$の元となる｣という条件である．あくまでも$\mathcal{O}$の有限個の元に対して成り立つ性質であることに注意が必要である．
一方で，3つ目は｢$\mathcal{O}$の元の和集合もまた$\mathcal{O}$の元となる｣という条件である．こちらは$\mathcal{O}$の無限個の元に対しても成り立つ性質である．
位相の例
以下，$X$を空でない集合とする．
$X$の冪集合$\mathcal{P}(X)$は$X$の位相であることを確認しよう．
- $\emptyset \subset X$であるから，$\emptyset \in \mathcal{P}(X)$である．
また，$X\subset X$であるから，$X\in \mathcal{P}(X)$である． - $O_1,O_2\in \mathcal{P}(X)$ならば，$O_1\subset X$かつ$O_2\subset X$である．
よって$O_1\cap O_2\subset X$であるから，$O_1\cap O_2\in \mathcal{P}(X)$である． - $\{ O_{\lambda}\} _{\lambda \in \Lambda}$を$\Lambda$を添字集合とする集合族とする．
任意の$\lambda \in \Lambda$に対し，$O_{\lambda}\in \mathcal{P}(X)$ならば，$O_{\lambda}\subset X$であるから
\[ \bigcup _{\lambda \in \Lambda}O_{\Lambda}\subset X\]
すなわち
\[ \bigcup _{\lambda \in \Lambda}O_{\Lambda}\in \mathcal{P}(X)\]
である．
以上より，$(X,\mathcal{P}(X))$は位相空間である．
$X$を空でない集合とする．
$X$の位相$\mathcal{P}(X)$を$X$の離散位相(discrete topology)といい，位相空間$(X,\mathcal{P}(X))$を離散空間(discrete space)(または離散位相空間)という．
$\mathcal{O}=\{ \emptyset ,X\}$は$X$の位相であることを確認しよう．
- $\emptyset \in \mathcal{O}$であり，$X\in \mathcal{O}$である．
- $O_1,O_2\in \mathcal{O}$ならば，$O_1\cap O_2\in \mathcal{O}$である．実際
\[ \emptyset \cap \emptyset =\emptyset \cap X=\emptyset \in \mathcal{O}\]
\[ X\cap X=X\in \mathcal{O}\]
が成り立つ． - $\{ O_{\lambda}\} _{\lambda \in \Lambda}$を$\Lambda$を添字集合とする集合族とする．
任意の$\lambda \in \Lambda$に対し，$O_{\lambda}\in \mathcal{O}$ならば
\[ \bigcup _{\lambda \in \Lambda}O_{\Lambda}\in \mathcal{O}\]
である．実際
\[ \emptyset \cup \emptyset =\emptyset \in \mathcal{O}\]
\[ \emptyset \cup X=X\cup X=X\in \mathcal{O}\]
が成り立つから
\[ \bigcup _{\lambda \in \Lambda}O_{\Lambda}=\begin{cases}\emptyset &(\forall \lambda \in \Lambda ,O_{\lambda}=\emptyset )\\ X&(\mathrm{otherwise})\end{cases}\in \mathcal{O}\]
である．
以上より，$(X,\{ \emptyset ,X\} )$は位相空間である．
$X$を空でない集合とする．
$X$の位相$\{ \emptyset ,X\}$を$X$の密着位相(indiscrete topology)といい，位相空間$(X,\{ \emptyset ,X\} )$を密着空間(indiscrete space)(または密着位相空間)という．
$2$元集合$X=\{ a,b\}$に対し，$\mathcal{O}=\{ \emptyset ,\{ a\} ,X\}$は$X$の位相であることを確認しよう．
- $\emptyset \in \mathcal{O}$であり，$X\in \mathcal{O}$である．
- $O_1,O_2\in \mathcal{O}$ならば，$O_1\cap O_2\in \mathcal{O}$である．実際
\[ \emptyset \cap \emptyset =\emptyset \cap \{ a\} =\emptyset \cap X=\emptyset \in \mathcal{O}\]
\[ \{ a\} \cap \{ a\} =\{ a\} \cap X=\{ a\} \in \mathcal{O}\]
\[ X\cap X=X\in \mathcal{O}\]
が成り立つ． - $\{ O_{\lambda}\} _{\lambda \in \Lambda}$を$\Lambda$を添字集合とする集合族とする．
任意の$\lambda \in \Lambda$に対し，$O_{\lambda}\in \mathcal{O}$ならば
\[ \bigcup _{\lambda \in \Lambda}O_{\Lambda}\in \mathcal{O}\]
である．実際
\[ \emptyset \cup \emptyset =\emptyset \in \mathcal{O}\]
\[ \emptyset \cup \{ a\} =\{ a\} \cup \{ a\} =\{ a\} \in \mathcal{O}\]
\[ \emptyset \cup X=\{ a\} \cup X=X\cup X=X\in \mathcal{O}\]
が成り立つから
\[ \bigcup _{\lambda \in \Lambda}O_{\Lambda}=\begin{cases}\emptyset &(\forall \lambda \in \Lambda ,O_{\lambda}=\emptyset )\\ X&(\exists \lambda \in \Lambda \ \mathrm{s.t.}\ O_{\lambda}=X)\\ \{ a\} &(\mathrm{otherwise})\end{cases}\in \mathcal{O}\]
である．
以上より，$(\{ a,b\} ,\{ \emptyset ,\{ a\} ,X\} )$は位相空間である．
位相空間$(\{ 0,1\} ,\{ \emptyset ,\{ 0\} ,\{ 0,1\} \})$をシェルピンスキー空間(Sierpiński space)という．
シェルピンスキー空間については，以下の記事を参照するとよい．
位相の距離付け
距離空間は，その距離関数が定める開集合系を位相に持つ．
$n\in \mathbb{N}$とする．，$n$次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^n$のユークリッド距離によって定まる開集合系$\mathcal{O}$は$\mathbb{R}^n$の位相である．実際，$\mathcal{O}$は次の3つの条件
- $\emptyset \in \mathcal{O}$かつ$X\in \mathcal{O}$
- $O_1,O_2\in \mathcal{O}\implies O_1\cap O_2\in \mathcal{O}$
- $\{ O_{\lambda}\} _{\lambda \in \Lambda}$を$\Lambda$を添字集合とする集合族とする．
\[ \forall \lambda \in \Lambda ,O_{\lambda}\in \mathcal{O}\implies \bigcup _{\lambda \in \Lambda}O_{\lambda}\in \mathcal{O}\]
をすべて満たしている．
$n\in \mathbb{N}$とする．$\mathbb{R}^n$の開集合系を$\mathbb{R}^n$の通常の位相(または自然な位相)という．
$\mathbb{R}^n$の開集合系の性質は次の記事で詳しく解説している．
距離空間$(X,d)$の開集合系$\mathcal{O}$は$X$の位相である．実際，$\mathcal{O}$は次の3つの条件
- $\emptyset \in \mathcal{O}$かつ$X\in \mathcal{O}$
- $O_1,O_2\in \mathcal{O}\implies O_1\cap O_2\in \mathcal{O}$
- $\{ O_{\lambda}\} _{\lambda \in \Lambda}$を$\Lambda$を添字集合とする集合族とする．
\[ \forall \lambda \in \Lambda ,O_{\lambda}\in \mathcal{O}\implies \bigcup _{\lambda \in \Lambda}O_{\lambda}\in \mathcal{O}\]
をすべて満たしている．
距離空間の開集合系の性質は次の記事で詳しく解説している．
$(X,\mathcal{O})$を位相空間とする．
ある$X$上の距離関数$d$が存在し，距離空間$(X,d)$の開集合系が$\mathcal{O}$であるとき，$X$の位相$\mathcal{O}$は距離付け可能(metrizable)(または距離化可能)であるといい，$(X,\mathcal{O})$を距離化可能空間(metrizable space)という．
離散位相は離散距離によって距離付け可能である．
$X$を空でない集合とする．$X$の離散距離$d$は
\[ d(x,y)=\begin{cases}0&(x=y)\\ 1&(x\neq y)\end{cases}\]
で定義される．
このとき，$O\subset X$とすると，任意の$a\in O$に対し，$a$の$1$近傍$B_1(a)$について
\[ B_1(a)=\{ a\} \subset O\]
が成り立つから，$O$は$X$の開集合である．
よって，距離空間$(X,d)$の開集合系は$X$の冪集合$\mathcal{P}(X)$であるから，離散位相は離散距離によって距離付け可能である．$\blacksquare$
$X$を元の個数が$2$以上である有限集合または無限集合とする．
$X$の密着位相は距離付け可能でない．
$X$の密着位相$(X,\{ \emptyset ,X\} )$が$X$の距離関数$d$により距離付け可能であると仮定すると，$a\in X$に対し，$\{ a\} ^c$は$X$の開集合である．
$X$は1元集合でないから，$\{ a\} ^c$は空でない．よって距離空間$(X,d)$の開集合系$\mathcal{O}$は$X$の密着位相でない．$\blacksquare$
命題において，$X$が$1$元集合である場合，$X$の離散位相と密着位相は一致するため，命題より$X$の密着位相は距離付け可能である．
部分空間
$(X,\mathcal{O})$を位相空間，$A$を$X$の空でない部分集合とする．
$\mathcal{O}_A=\{ A\cap U\mid U\in \mathcal{O}\}$は$A$の位相であることを確認しよう．
- $\emptyset \in \mathcal{O}$であるから，$\emptyset \in \mathcal{O}_A$である．
また，$X\in \mathcal{O}$であるから，$X\in \mathcal{O}_A$である． - $A_1,A_2\in \mathcal{O}_A$ならば，$A_1,A_2\subset A$かつ$A_1,A_2\in \mathcal{O}$，すなわち$A_1\cap A_2\subset A$かつ$A_1\cap A_2\subset \mathcal{O}$であるから
\[ A_1\cap A_2=A\cap (A_1\cap A_2)\in \mathcal{O}_A\]
が成り立つ． - $\{ A_{\lambda}\} _{\lambda \in \Lambda}$を$\Lambda$を添字集合とする集合族とする．
任意の$\lambda \in \Lambda$に対し，$A_{\lambda}\in \mathcal{O}_A$ならば，$A_{\lambda}\subset A$かつ$A_{\lambda}\in \mathcal{O}$，すなわち$\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\subset A$かつ$\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\subset \mathcal{O}$であるから
\[ \bigcup _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}=A\cap \left( \bigcup _{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}\right) \in \mathcal{O}_A\]
が成り立つ．
以上より，$(A,\mathcal{O}_A)$は位相空間である．
$(X,\mathcal{O})$を位相空間，$A$を$X$の空でない部分集合とする．
$A$の位相$\mathcal{O}_A=\{ A\cap U\mid U\in \mathcal{O}\}$を$A$上の$\mathcal{O}$に関する相対位相(relative topology)(または部分空間位相(subspace topology)，トレース位相(trace topology))といい，位相空間$(A,\mathcal{O}_A)$を$(X,\mathcal{O})$の部分位相空間(topological subspace)(または部分空間(subspace))という．
閉集合
開集合は位相の元として定義された．閉集合は次のように定義する．
$(X,\mathcal{O})$を位相空間とする．
$F\subset X$が$F^c\subset \mathcal{O}$を満たすとき，$F$を$(X,\mathcal{O})$の$\mathcal{O}$-閉集合($\mathcal{O}$-closed set)(または単に閉集合(closed set))という．
また，$(X,\mathcal{O})$の閉集合全体の集合を閉集合系(closed sets)という．
位相空間の閉集合も，距離空間で定義された閉集合と同様の性質を持つ．
$(X,\mathcal{O})$を位相空間，$\mathcal{F}$を$(X,\mathcal{O})$の閉集合系とするとき，次が成り立つ．
- $\emptyset \in \mathcal{F}$かつ$X\in \mathcal{F}$
- $F_1,F_2\in \mathcal{F}\implies F_1\cup F_2\in \mathcal{F}$
- $\{ F_{\lambda}\} _{\lambda \in \Lambda}$を$\Lambda$を添字集合とする集合族とする．
\[ \forall \lambda \in \Lambda ,F_{\lambda}\in \mathcal{F}\implies \bigcap _{\lambda \in \Lambda}F_{\lambda}\in \mathcal{F}\]
- $X\in \mathcal{O}$であるから$\emptyset =X^c\in \mathcal{F}$である．
また$\emptyset \in \mathcal{O}$であるから$X=\emptyset ^c\in \mathcal{F}$である．$\blacksquare$ - $O_1=F_1^c,O_2=F_2^c$とすると
\[ (F_1\cup F_2)^c=F_1^c\cap F_2^c=O_1\cap O_2\in \mathcal{O}\]
であるから$F_1\cup F_2\in \mathcal{F}$である．$\blacksquare$ - $\lambda \in \Lambda$に対し，$O_{\lambda}=F_{\lambda}^c$とすると
\[ \left( \bigcap _{\lambda \in \Lambda}F_{\lambda}\right) ^c=\bigcup _{\lambda \in \Lambda}F_{\lambda}^c=\bigcup _{\lambda \in \Lambda}O_{\lambda}\in \mathcal{O}\]
であるから$\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda}F_{\lambda}\in \mathcal{F}$である．$\blacksquare$