行列

$m,n\in \mathbb{N}$，$i\in \{ 1,2,\dots ,m\} ,j\in \{ 1,2,\dots ,n\}$，$a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn}$を数学的対象¹とする．

$a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn}$を
\[ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}\]
のように長方形状に並べたものを$m\times n$行列(または$m$行$n$列の行列，$(m,n)$型の行列)($m\times n$ matrix)といい，$(a_{ij})_{m\times n}$とも表す．また，$(m,n)$を行列$A$の型(またはサイズ)(size)という．
さらに，$a_{ij}$を行列$A$の$(i,j)$成分($(i,j)$ entry, (または$(i,j)$ component))，$i$や$j$を$a_{ij}$の添字(index)といい
\[ \begin{pmatrix}a_{i1}&a_{i2}&\cdots &a_{in}\end{pmatrix}\]
を行列$A$の第$i$行($i$-th row)，
\[ \begin{pmatrix}a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots \\ a_{mj}\end{pmatrix}\]
を行列$A$の第$j$列($j$-th column)という．

$m,n\in \mathbb{N}$，$A=(a_{ij})_{m\times n}$を$m\times n$行列，$B=(b_{ij})_{p\times q}$を$p\times q$行列とする．

$m=p$かつ$n=q$であり，任意の$i\in \{ 1,2,\dots ,m\} ,j\in \{ 1,2,\dots ,n\}$に対して，$a_{ij}=b_{ij}$が成り立つとき，$A$と$B$は等しい(equal)といい，$A=B$で表す．

$m,n\in \mathbb{N}$，$S$を集合とする．

写像
\[ A:\{ 1,2,\dots ,m\} \times \{ 1,2,\dots ,n\} \to S\]
を$m\times n$行列という．また
\[ a_{ij}\coloneqq A(i,j)\quad (i\in \{ 1,2,\dots ,m\} ,j\in \{ 1,2,\dots ,n\} )\]
とするとき，$A$を
\[ \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}\]
で表す．

$n\in \mathbb{N}$とする．

• $1\times n$行列を$n$次行ベクトル($n$-th row vector)という．
• $n\times 1$行列を$n$次列ベクトル($n$-th column vector)という．
• 行ベクトルと列ベクトルを合わせて数ベクトル(numerical vector)という．
• 任意の成分が$0$である数ベクトルを零ベクトル(zero vector)といい，$\bm{0}$で表す．

$K$を体とする．

• 任意の成分が$K$の元である行列を$K$上の行列(matrix over $K$)という．
• $\mathbb{R}$上の行列を実行列(real matrix)という．
• $\mathbb{C}$上の行列を複素行列(complex matrix)という．

$m,n\in \mathbb{N}$とする．

任意の成分が$0$である行列を零行列(zero matrix)といい，$O$で表す．
特に，$m\times n$行列である零行列を$O_{m,n}$で表す．

$n\in \mathbb{N}$，$i,j\in \{ 1,2,\dots ,n\}$，$A=(a_{ij})_{n\times n}$を$n\times n$行列とする．

• $A$を$n$次正方行列($n$-th square matrix)(または$n$次行列($n$-th matrix)といい，$a_{ii}$を$A$の対角成分(diagonal entry)という．
• $i\neq j$ならば$a_{ij}=0$であるとき，$A$を対角行列(diagonal matrix)という．
• $a_{11}=a_{22}=\dots =a_{nn}$かつ$A$が対角行列であるとき，$A$をスカラー行列(scalar matrix)という．
• $a_{11}=a_{22}=\dots =a_{nn}=1$かつ$A$が対角行列であるとき，$A$を単位行列(identity matrix)といい，$E$(または$I$)，特に$E_n$(または$I_n$)で表す．

$n\in \mathbb{N}$，$i,j\in \{ 1,2,\dots ,n\}$，$A=(a_{ij})_{n\times n}$を$n$次正方行列とする．

• $i>j$ならば$a_{ij}=0$であるとき，$A$を上三角行列(upper triangular matrix, right triangular matrix)という，
• $i<j$ならば$a_{ij}=0$であるとき，$A$を下三角行列(lower triangular matrix, left triangular matrix)という．

$m,n\in \mathbb{N}$，$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}$を$m\times n$行列とする．

$n\times m$行列
\[ \begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots &a_{m1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots &a_{m2}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}\]
を$A$の転置行列(transpose, transpose of a matrix, transposed matrix)といい，${}^tA$で表す．
また，${}^tA$を求めることを，$A$の転置をとる(transpose)という．

$A$を正方行列とする．

${}^tA=A$であるとき，$A$を対称行列(symmetric matrix)という．