ベクトル空間には様々な基底の取り方がある．任意のベクトルは基底の1次結合の形で表現できるが，基底を変えるとどのようになるのだろうか．
ベクトル空間の基底と成分
ベクトル空間の基底は，ベクトル空間に座標を設定することと等価である．座標を定めるには，任意のベクトルを基底の1次結合で一意的に表されなければならない．それを保証するのが，次の補題1である．
$n\in \mathbb{N}$，$K$を体，$V$を$K$上のベクトル空間，$B$を$V$の基底とする．
任意の$\bm{x}\in V$に対して，ある$k_1,k_2,\dots ,k_n\in K\setminus \{ 0\}$と，相異なる$\bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n\in B$が一意に存在して
\[ \bm{x}=k_1\bm{x}_1+k_2\bm{x}_2+\dots +k_n\bm{x}_n\]
となる．
基底の定義より，任意の$\bm{x}\in V$に対して，ある$k_1,k_2,\dots ,k_n\in K\setminus \{ 0\}$と，相異なる$\bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n\in B$が存在して
\[ \bm{x}=k_1\bm{x}_1+k_2\bm{x}_2+\dots +k_n\bm{x}_n\tag{A}\]
となる．
よって，$k_1,k_2,\dots ,k_n\in K\setminus \{ 0\}$と$\bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n\in B$の一意性を示せばよい．
$m\in \mathbb{N}$とする．ある$l_1,l_2,\dots ,l_m\in K\setminus \{ 0\}$と，相異なる$\bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_m\in B$が存在して
\[ \bm{x}=l_1\bm{y}_1+l_2\bm{y}_2+\dots +l_m\bm{y}_m\tag{B}\]
となるとする．
$m\leq n$として一般性を失わない．
- \[ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n,\bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_m\]
が相異なるとき，$\rm (A)-(B)$より
\[ \begin{aligned}\bm{0}=&k_1\bm{x}_1+k_2\bm{x}_2+\dots +k_n\bm{x}_n\\ &-l_1\bm{y}_1-l_2\bm{y}_2-\dots -l_m\bm{y}_m\end{aligned}\]
となる．
\[ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n,\bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_m\]
は1次独立であるから
\[ \begin{aligned}&k_1=k_2=\dots =k_n\\ =&l_1=l_2=\dots =l_m=0\end{aligned}\]
となり矛盾する． - $r$を$m$未満の正の整数とし，
\[ \{ i_1,i_2,\dots ,i_r\} =\{ 1,2,\dots ,r\}\]
とする．
\[ \bm{x}_1=\bm{y}_{i_1},\bm{x}_2=\bm{y}_{i_2},\dots ,\bm{x}_r=\bm{y}_{i_r}\]
であり，これらのベクトルと
\[ \bm{x}_{r+1},\bm{x}_{r+2},\dots ,\bm{x}_n,\bm{y}_{r+1},\bm{y}_{r+2},\dots ,\bm{y}_m\]
が相異なるとき，$\rm (A)-(B)$より
\[ \begin{aligned}\bm{0}=&(k_1-l_{i_1})\bm{x}_1+(k_2-l_{i_2})\bm{x}_2+\dots +(k_r-l_{i_r})\bm{x}_r\\ &+k_{r+1}\bm{x}_{r+1}+k_{r+2}\bm{x}_{r+2}+\dots +k_n\bm{x}_n\\ &-l_{r+1}\bm{y}_{r+1}-l_{r+2}\bm{y}_{r+2}-\dots -l_m\bm{y}_m\end{aligned}\]
となる．
\[ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n,\bm{y}_{r+1},\bm{y}_{r+2},\dots ,\bm{y}_m\]
は1次独立であるから
\[ \begin{aligned}&k_{r+1}=k_{r+2}=\dots =k_n\\ =&l_{r+1}=l_{r+2}=\dots =l_m=0\end{aligned}\]
となり矛盾する． - \[ \{ i_1,i_2,\dots ,i_m\} =\{ 1,2,\dots ,m\}\]
とする．
$m<n$かつ
\[ \bm{x}_1=\bm{y}_{i_1},\bm{x}_2=\bm{y}_{i_2},\dots ,\bm{x}_m=\bm{y}_{i_m}\]
であるとき，$\rm (A)-(B)$より
\[ \begin{aligned}\bm{0}=&(k_1-l_{i_1})\bm{x}_1+(k_2-l_{i_2})\bm{x}_2+\dots +(k_m-l_{i_m})\bm{x}_r\\ &+k_{m+1}\bm{x}_{m+1}+k_{m+2}\bm{x}_{m+2}+\dots +k_n\bm{x}_n\end{aligned}\]
となる．
\[ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n\]
は1次独立であるから
\[ k_{m+1}=k_{m+2}=\dots =k_n=0\]
となり矛盾する．
\[ \{ i_1,i_2,\dots ,i_m\} =\{ 1,2,\dots ,m\}\]
とする．
以上より，$m=n$かつ
\[ \bm{x}_1=\bm{y}_{i_1},\bm{x}_2=\bm{y}_{i_2},\dots ,\bm{x}_m=\bm{y}_{i_m}\]
である．
このとき，$\rm (B)$は
\[ \begin{aligned}\bm{x}&=l_{i_1}\bm{y}_{i_1}+l_{i_2}\bm{y}_{i_2}+\dots +l_{i_m}\bm{y}_{i_m}\\ &=l_{i_1}\bm{x}_1+l_{i_2}\bm{x}_2+\dots +l_{i_m}\bm{x}_m\end{aligned}\]
となるから，$\rm (A)-(B)$より
\[ \bm{0}=(k_1-l_{i_1})\bm{x}_1+(k_2-l_{i_2})\bm{x}_2+\dots +(k_m-l_{i_m})\bm{x}_m\]
よって
\[ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_m\]
は1次独立であるから
\[ k_1-l_{i_1}=k_2-l_{i_2}=\dots =k_m-l_{i_m}=0\]
したがって
\[ k_1=l_{i_1},k_2=l_{i_2},\dots ,k_m=l_{i_m}\]
を得る．$\blacksquare$
補題1により，ベクトル空間の座標に相当する，次の概念を定義できる．
$n\in \mathbb{N}$，$K$を体，$V$を$K$上のベクトル空間，$B$を$V$の基底とする．
また，$k_1,k_2,\dots ,k_n\in K\setminus \{ 0\}$，$\bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n$を相異なる$B$の元とする．
$\bm{x}\in V$が
\[ \bm{x}=k_1\bm{x}_1+k_2\bm{x}_2+\dots +k_n\bm{x}_n\]
と表されるとき，$k_1,k_2,\dots ,k_n$を基底$B$に関する$\bm{x}$の成分(または座標)(coordinates)という．
具体例で確認しよう．
$\bm{x}=\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 4\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3$とする．
$\mathbb{R}^3$の標準基底$\{ \bm{e}_1,\bm{e}_2,\bm{e}_3\}$に関する$\bm{x}$の成分は，それぞれ$3,1,4$である．
基底変換
ベクトル空間の基底を変えるとき，それに対応する行列を考えることができる．
$n\in \mathbb{N}$，$K$を体，$V$を$K$上の$n$次元ベクトル空間，$\{ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n\} ,\{ \bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_n\}$を$V$の基底とする．
ある$k_{11},k_{12},\dots ,k_{nn}\in K$が存在して
\[ \bm{y}_1=k_{11}\bm{x}_1+k_{21}\bm{x}_2+\dots +k_{n1}\bm{x}_n\\ \bm{y}_2=k_{12}\bm{x}_1+k_{22}\bm{x}_2+\dots +k_{n2}\bm{x}_n\\ \vdots \\ \bm{y}_n=k_{1n}\bm{x}_1+k_{2n}\bm{x}_2+\dots +k_{nn}\bm{x}_n\]
すなわち
\[ \begin{pmatrix}\bm{y}_1&\bm{y}_2&\cdots &\bm{y}_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\bm{x}_1&\bm{x}_2&\cdots &\bm{x}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_{11}&k_{12}&\cdots &k_{1n}\\ k_{21}&k_{22}&\cdots &k_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ k_{n1}&k_{n2}&\cdots &k_{nn}\end{pmatrix}\]
となる．このとき
\[ \begin{pmatrix}k_{11}&k_{12}&\cdots &k_{1n}\\ k_{21}&k_{22}&\cdots &k_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ k_{n1}&k_{n2}&\cdots &k_{nn}\end{pmatrix}\]
を，$V$の基底変換(change of basis)$\{ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n\} \to \{ \bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_n\}$の基底変換行列(change-of-basis matrix)という．
逆に，与えられた正方行列を基底変換行列とする基底変換の存在は，次の条件によって与えられる．
$n\in \mathbb{N}$，$K$を体，$V$を$K$上の$n$次元ベクトル空間，$\{ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n\}$を$V$の基底，$P$を$K$上の$n$次正方行列とする．
\[ \begin{pmatrix}\bm{y}_1&\bm{y}_2&\cdots &\bm{y}_n\end{pmatrix}\coloneqq \begin{pmatrix}\bm{x}_1&\bm{x}_2&\cdots &\bm{x}_n\end{pmatrix}P\]
とするとき，$\{ \bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_n\}$が$V$の基底であるための必要十分条件は，$P$が正則であること，すなわち
\[ \det P\neq 0\]
である．
$\bm{x}_1,\bm{x}_2,\dots ,\bm{x}_n$は1次独立であるから
\[ X\coloneqq \begin{pmatrix}\bm{x}_1&\bm{x}_2&\cdots &\bm{x}_n\end{pmatrix}\]
は正則，すなわち$\det X\neq 0$である．
まず，必要性を示す．
$\{ \bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_n\}$が$V$の基底ならば，$\bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_n$は1次独立であるから
\[ Y\coloneqq \begin{pmatrix}\bm{y}_1&\bm{y}_2&\cdots &\bm{y}_n\end{pmatrix}\]
は正則，すなわち$\det Y\neq 0$である．
よって
\[ \det Y=(\det X)(\det P)\]
であるから，$\det P\neq 0$，すなわち$P$は正則である．
次に，十分性を示す．
$P$が正則，すなわち$\det P\neq 0$ならば
\[ \det Y=(\det X)(\det P)\]
より$\det Y\neq 0$，すなわち$Y$は正則である．
よって，$\bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_n$は1次独立であり，$\dim V=n$であるから，$\{ \bm{y}_1,\bm{y}_2,\dots ,\bm{y}_n\}$は$V$の基底である．$\blacksquare$
具体的な基底変換において，その基底変換行列を求めてみよう．
\[ \bm{x}_1=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\quad \bm{x}_2=\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 1\end{pmatrix},\quad \bm{x}_3=\begin{pmatrix}3\\ 0\\ 2\end{pmatrix}\]
\[ \bm{y}_1=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix},\quad \bm{y}_2=\begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 3\end{pmatrix},\quad \bm{y}_3=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 1\end{pmatrix}\]
とすると，$\{ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\bm{x}_3\}$と$\{ \bm{y}_1,\bm{y}_2,\bm{y}_3\}$は$\mathbb{R}^3$の基底である．
基底変換$\{ \bm{x}_1,\bm{x}_2,\bm{x}_3\} \to \{ \bm{y}_1,\bm{y}_2,\bm{y}_3\}$の基底変換行列$P$を求める．
$P$は
\[ \begin{pmatrix}1&-2&3\\ 2&0&2\\ 3&3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 1&-1&0\\ 0&1&2\end{pmatrix}P\]
を満たす．
\[ \begin{pmatrix}1&2&3\\ 1&-1&0\\ 0&1&2\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1&-3\\ 2&-2&-3\\ -1&1&3\end{pmatrix}\]
であるから
\[ \begin{aligned}P&=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1&-3\\ 2&-2&-3\\ -1&1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2&3\\ 2&0&2\\ 3&3&1\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-5&-13&5\\ 11&-13&-1\\ 10&11&2\end{pmatrix}\end{aligned}\]
基底変換行列を考えることの大きなメリットは，変換後の成分を行列を掛けることにより機械的に求めることができるようになるという点である．
$n\in \mathbb{N}$，$K$を体，$V$を$K$上の$n$次元ベクトル空間，$\bm{x}\in V$，$\{ \bm{v}_1,\bm{v}_2,\dots ,\bm{v}_n\} ,\{ \bm{w}_1,\bm{w}_2,\dots ,\bm{w}_n\}$を$V$の基底，$P$を基底変換$\{ \bm{v}_1,\bm{v}_2,\dots ,\bm{v}_n\} \to \{ \bm{w}_1,\bm{w}_2,\dots ,\bm{w}_n\}$の基底変換行列とする．
$x_1,x_2,\dots ,x_n$を基底$\{ \bm{v}_1,\bm{v}_2,\dots ,\bm{v}_n\}$に関する$\bm{x}$の成分，$y_1,y_2,\dots ,y_n$を基底$\{ \bm{w}_1,\bm{w}_2,\dots ,\bm{w}_n\}$に関する$\bm{x}$の成分とすると
\[ \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}\]
が成り立つ．
\[ \begin{aligned}\bm{x}&=x_1\bm{v}_1+x_2\bm{v}_2+\dots +x_n\bm{v}_n\\ &=\begin{pmatrix}\bm{v}_1&\bm{v}_2&\cdots &\bm{v}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}\end{aligned}\]
\[ \begin{aligned}\bm{x}&=y_1\bm{w}_1+y_2\bm{w}_2+\dots +y_n\bm{w}_n\\ &=\begin{pmatrix}\bm{w}_1&\bm{w}_2&\cdots &\bm{w}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}\end{aligned}\]
\[ \begin{pmatrix}\bm{w}_1&\bm{w}_2&\cdots &\bm{w}_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\bm{v}_1&\bm{v}_2&\cdots &\bm{v}_n\end{pmatrix}P\]
であるから
\[ \begin{aligned}&\begin{pmatrix}\bm{v}_1&\bm{v}_2&\cdots &\bm{v}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}\bm{w}_1&\bm{w}_2&\cdots &\bm{w}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}\bm{v}_1&\bm{v}_2&\cdots &\bm{v}_n\end{pmatrix}P\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}\end{aligned}\]
ここで，$\bm{v}_1,\bm{v}_2,\dots ,\bm{v}_n$は1次独立，すなわち
\[ \begin{pmatrix}\bm{v}_1&\bm{v}_2&\cdots &\bm{v}_n\end{pmatrix}\]
は正則であるから，両辺に左から
\[ \begin{pmatrix}\bm{v}_1&\bm{v}_2&\cdots &\bm{v}_n\end{pmatrix}^{-1}\]
を掛けると
\[ \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}\]
を得る．$\blacksquare$
特に，$\mathbb{R}^n$の標準基底を
\[ \left\{ \begin{pmatrix}x_{11}\\ x_{21}\\ \vdots \\ x_{n1}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}x_{12}\\ x_{22}\\ \vdots \\ x_{n2}\end{pmatrix},\dots ,\begin{pmatrix}x_{1n}\\ x_{2n}\\ \vdots \\ x_{nn}\end{pmatrix}\right\} \]
に基底変換する場合，その基底変換行列は
\[ \begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots &x_{1n}\\ x_{21}&x_{22}&\cdots &x_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ x_{n1}&x_{n2}&\cdots &x_{nn}\end{pmatrix}\]
となる．