$n$個の$\mathbb{R}$の直積$\mathbb{R}^n$は，$n$次元空間と同一視することができる．集合$\mathbb{R}^n$が持つ構造を解き明かす．
ユークリッド空間の定義
$\mathbb{R}^n$に演算を導入することを考える．
$n\in \mathbb{N}$とする．
- $n$個の$\mathbb{R}$の直積
\[ \mathbb{R}^n=\{ (x_1,x_2,\dots ,x_n)\mid x_1,x_2,\dots ,x_n\in \mathbb{R}\} \]
の元を点(point)という．
\[ \bm{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n),\bm{y}=(y_1,y_2,\dots ,y_n)\in \mathbb{R}^n\]
とする．
- \[ (x_1+y_1,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n)\in \mathbb{R}^n\]
を$\bm{x}$と$\bm{y}$の和(sum)といい，$\bm{x}+\bm{y}$で表す． - $c\in \mathbb{R}$とする．
\[ (cx_1,cx_2,\dots ,cx_n)\in \mathbb{R}^n\]
を$\bm{x}$の$c$によるスカラー倍(scalar multiplication)といい，$c\bm{x}$で表す． - \[ (0,0,\dots ,0)\in \mathbb{R}^n\]
を零ベクトル(zero vector)といい，$\bm{0}$で表す． - \[ x_1y_1+x_2y_2+\dots +x_ny_n\in \mathbb{R}\]
を$\bm{x}$と$\bm{y}$の内積(inner product)といい，$\langle \bm{x},\bm{y}\rangle$で表す． - 和，スカラー倍，内積が定義された$\mathbb{R}^n$を$n$次元実ユークリッド空間(Euclidean $n$-real space)という．
ユークリッド空間における演算の具体例を挙げておく．
\[ \bm{a}=(1,-3,2)\\ \bm{b}=(-2,1,3)\]
とする．
- \[ \begin{aligned}\bm{a}+\bm{b}&=(1-2,-3+1,2+3)\\ &=(-1,-2,5)\end{aligned}\]
- \[ \begin{aligned}-3\bm{a}+2\bm{b}&=(-3,9,-6)+(-4,2,6)\\ &=(-3-4,9+2,-6+6)\\ &=(-7,11,0)\end{aligned}\]
- \[ \langle \bm{a},\bm{b}\rangle =-2-3+6=1\]
線形代数で扱っているが，定義1によって定まるユークリッド空間は，次の構造を持つ．
$\mathbb{R}^n$は内積空間である．
ノルム
ユークリッド空間$\mathbb{R}^n$から実数$\mathbb{R}$への代表的な写像として，次のようなものがある．
$n\in \mathbb{N}$，
\[ \bm{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in \mathbb{R}^n\]
とする．
\[ \sqrt{\langle \bm{x},\bm{x}\rangle }=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2}\]
を$\bm{x}$のユークリッドノルム(Euclidean norm)といい，$\| \bm{x}\|$で表す．
\[ \bm{a}=(4,5,-2,2)\in \mathbb{R}^4\]
とする．
\[ \begin{aligned}\| \bm{a}\| &=\sqrt{4^2+5^2+(-2)^2+2^2}\\ &=\sqrt{49}=7\end{aligned}\]
ノルムは$\mathbb{R}^n$の1つの元に対して定まるものであり，次に紹介するユークリッド距離とは区別して扱う．
距離
ユークリッド空間の2点を実数に対応付けるような写像，すなわち$\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n$から$\mathbb{R}$への代表的な写像として，次のようなものがある．
$n\in \mathbb{N}$，$d:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$を写像とする．
\[ \begin{aligned}&d(\bm{x},\bm{y})=\| \bm{x}-\bm{y}\| \\ &(\bm{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n),\bm{y}=(y_1,y_2,\dots ,y_n)\in \mathbb{R}^n)\end{aligned}\]
であるとき，$d(\bm{x},\bm{y})$を$\bm{x}$と$\bm{y}$のユークリッド距離(Euclidean distance)という．
以下，$d$をユークリッド距離とする．
\[ \bm{a}=(1,-3,2)\\ \bm{b}=(-2,1,3)\]
とする．
\[ \begin{aligned}\| \bm{a}-\bm{b}\| &=\| (3,-4,-1)\| \\ &=\sqrt{3^2+(-4)^2+(-1)^2}\\ &=\sqrt{26}\end{aligned}\]
ユークリッド距離の性質を考える準備として，次の不等式を示しておく．
$n\in \mathbb{N}$，$\bm{x},\bm{y}\in \mathbb{R}^n$とする．
\[ |\langle \bm{x},\bm{y}\rangle |\le \| \bm{x}\| \| \bm{y}\| \]
\[ \bm{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n),\bm{y}=(y_1,y_2,\dots ,y_n)\]
とする．
\[ \begin{aligned}&\| \bm{x}\| ^2\| \bm{y}\| ^2-|\langle \bm{x},\bm{y}\rangle |^2\\ =&(x_1^2+\dots +x_n^2)(y_1^2+\dots +y_n^2)\\ &-(x_1y_1+\dots +x_ny_n)^2\\ =&\sum _{1\le i,j\le n}x_i^2y_j^2-\sum _{1\le i,j\le n}x_iy_ix_jy_j\\ =&\frac{1}{2}\sum _{1\le i,j\le n}(x_iy_j-x_jy_i)^2\ge 0\quad \blacksquare \end{aligned}\]
ユークリッド距離が満たす重要な性質は，次の3つである．
$n\in \mathbb{N}$，$\bm{x},\bm{y},\bm{z}\in \mathbb{R}^n$とする．
- \[ d(\bm{x},\bm{y})\ge 0\]
特に
\[ d(\bm{x},\bm{y})=0\iff \bm{x}=\bm{y}\] - \[ d(\bm{x},\bm{y})=d(\bm{y},\bm{x})\]
- \[ d(\bm{x},\bm{z})\le d(\bm{x},\bm{y})+d(\bm{y},\bm{z})\]
\[ \bm{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n),\bm{y}=(y_1,y_2,\dots ,y_n)\]
とする．
- \[ \begin{aligned}&d(\bm{x},\bm{y})=\| \bm{x}-\bm{y}\| =\sqrt{\langle \bm{x}-\bm{y},\bm{x}-\bm{y}\rangle }\\ =&\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots +(x_n-y_n)^2}\ge 0\end{aligned}\]
特に，この値が$0$となるとき
\[ x_1-y_1=x_2-y_2=\dots =x_n-y_n=0\]
となるから，$\bm{x}=\bm{y}$を得る．逆にこのとき，$d(\bm{x},\bm{y})=0$となる．$\blacksquare$ - \[ \begin{aligned}&d(\bm{x},\bm{y})=\| \bm{x}-\bm{y}\| =\sqrt{\langle \bm{x}-\bm{y},\bm{x}-\bm{y}\rangle }\\ =&\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots +(x_n-y_n)^2}\\ =&\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+\dots +(y_n-x_n)^2}\\ =&\sqrt{\langle \bm{y}-\bm{x},\bm{y}-\bm{x}\rangle }=\| \bm{y}-\bm{x}\| =d(\bm{y},\bm{x})\quad \blacksquare \end{aligned}\]
- コーシー・シュワルツの不等式より
\[ \begin{aligned}&(d(\bm{x},\bm{y})+d(\bm{y},\bm{z}))^2-(d(\bm{x},\bm{z}))^2\\ =&\| \bm{x}-\bm{y}\| ^2+2\| \bm{x}-\bm{y}\| \| \bm{y}-\bm{z}\| +\| \bm{y}-\bm{z}\| ^2-\| \bm{x}-\bm{z}\| ^2\\ \ge &(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots +(x_n-y_n)^2\\ &+2(x_1-y_1)(y_1-z_1)+\dots +2(x_n-y_n)(y_n-z_n)\\ &+(y_1-z_1)^2+\dots +(y_n-z_n)^2\\ &-(x_1-z_1)^2-\dots -(x_n-z_n)^2\\ =&0\quad \blacksquare \end{aligned}\]
これを一般化して，このような性質を持つ$\mathbb{R}$への写像を組み込んだ集合を距離空間という．