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ベクトル空間

ベクトル空間とは，2つの演算と8つの性質を満たす集合のことである．

ベクトル空間の定義

さて，線形代数や微分積分の世界では，実数の集合R\mathbb{R}は次のような性質を満たすものとして考えていた．

公理1

実数全体の集合R\mathbb{R}は次の17個の条件を満たす．

  • ∀x,y∈R,x+y=y+x\forall x,y\in \mathbb{R},x+y=y+x
  • ∀x,y,z∈R,(x+y)+z=x+(y+z)\forall x,y,z\in \mathbb{R},(x+y)+z=x+(y+z)
  • ∃0∈R,∀x∈R,x+0=0+x=x\exists 0\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R},x+0=0+x=x
  • ∀x∈R,∃−x∈R,x+(−x)=0\forall x\in \mathbb{R},\exists -x\in \mathbb{R},x+(-x)=0
  • ∀x,y∈R,xy=yx\forall x,y\in \mathbb{R},xy=yx
  • ∀x,y,z∈R,(xy)z=x(yz)\forall x,y,z\in \mathbb{R},(xy)z=x(yz)
  • ∃1∈R,∀x∈R,x1=1x=x\exists 1\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R},x1=1x=x
  • ∀x∈R\{0},∃x−1∈R,xx−1=1\forall x\in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} ,\exists x^{-1}\in \mathbb{R},xx^{-1}=1
  • ∀x,y,z∈R,x(y+z)=xy+xz\forall x,y,z\in \mathbb{R},x(y+z)=xy+xz
  • 0≠10\neq 1
  • ∀x∈R,x≤x\forall x\in \mathbb{R},x\le x
  • ∀x,y∈R[[x≤y∧y≤x]  ⟹  x=y]\forall x,y\in \mathbb{R}[[x\le y\land y\le x]\implies x=y]
  • ∀x,y,z∈R[[x≤y∧y≤z]  ⟹  x≤z]\forall x,y,z\in \mathbb{R}[[x\le y\land y\le z]\implies x\le z]
  • ∀x,y∈R[x≤y∨y≤x]\forall x,y\in \mathbb{R}[x\le y\lor y\le x]
  • ∀x,y,z∈R[x≤y  ⟹  x+z≤y+z]\forall x,y,z\in \mathbb{R}[x\le y\implies x+z\le y+z]
  • ∀x,y∈R[[0≤x∧0≤y]  ⟹  0≤xy]\forall x,y\in \mathbb{R}[[0\le x\land 0\le y]\implies 0\le xy]
  • 連続の公理
実数 ～17の公理を徹底解説～
real_number-calculusこの記事のPDFファイルのダウンロード･印刷はこちらから実数とは，ある17個の性質が成り立つ数の集合のことです．実数とは実数(real number)全体の集合R\mathbb{R}は次の17個の条...
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公理1の1～10はR\mathbb{R}に導入された演算についての性質，11～16はR\mathbb{R}に導入された順序についての性質である．このうち，演算についての10個の性質を一般化したものがベクトル空間である．

定義1

VVを集合とする．VV上の演算である和(addition, summation)+:V×V→V+:V\times V\to V及びスカラー倍(scalar multiplication)⋅:R×V→V\cdot :\mathbb{R}\times V\to Vが定義され，任意のx,y∈V\bm{x},\bm{y}\in V及びk∈Rk\in \mathbb{R}に対し
x+y=def+(x,y) \bm{x}+\bm{y}\stackrel{\mathrm{def}}{=}+(\bm{x},\bm{y})
kx=def⋅(k,x) k\bm{x}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\cdot (k,\bm{x})
と定める．任意のx,y,z∈V\bm{x},\bm{y},\bm{z}\in V及びk,l∈Rk,l\in \mathbb{R}に対し，次の8個の条件すべてを満たす集合VVをベクトル空間(vector space)(または線形空間(linear space))といい，VVの元をベクトル(vector)という．

  1. (和の交換律(commutative law))x+y=y+x\bm{x}+\bm{y}=\bm{y}+\bm{x}
  2. (和の結合律(associative law))(x+y)+z=x+(y+z)(\bm{x}+\bm{y})+\bm{z}=\bm{x}+(\bm{y}+\bm{z})
  3. (零ベクトルの存在)∃0∈V,∀x∈V,x+0=x\exists \bm{0}\in V,\forall \bm{x}\in V,\bm{x}+\bm{0}=\bm{x}
    0\bm{0}を零ベクトル(zero vector)という．
  4. (スカラー倍の結合律)k(lx)=(kl)xk(l\bm{x})=(kl)\bm{x}
  5. (分配律(distribution law))(k+l)x=kx+lx(k+l)\bm{x}=k\bm{x}+l\bm{x}
  6. (分配律)k(x+y)=kx+kyk(\bm{x}+\bm{y})=k\bm{x}+k\bm{y}
  7. 1x=x1\bm{x}=\bm{x}
  8. 0x=00\bm{x}=\bm{0}

厳密には，定義1のベクトル空間はR\mathbb{R}上のベクトル空間と呼ばれるものである．一般に，体KK上のベクトル空間を次のように定義する．

定義2

VVを集合，KKを体とする．VV上の演算である和(addition, summation)+:V×V→V+:V\times V\to V及びスカラー倍(scalar multiplication)⋅:K×V→V\cdot :K\times V\to Vが定義され，任意のx,y∈V\bm{x},\bm{y}\in V及びk∈Kk\in Kに対し
x+y=def+(x,y) \bm{x}+\bm{y}\stackrel{\mathrm{def}}{=}+(\bm{x},\bm{y})
kx=def⋅(k,x) k\bm{x}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\cdot (k,\bm{x})
と定める．任意のx,y,z∈V\bm{x},\bm{y},\bm{z}\in V及びk,l∈Kk,l\in Kに対し，次の8個の条件すべてを満たす集合VVをKK上のベクトル空間(vector space)(または線形空間(linear space))といい，KKの元をスカラー(scalar)，VVの元をベクトル(vector)という．

  1. (和の交換律(commutative law))x+y=y+x\bm{x}+\bm{y}=\bm{y}+\bm{x}
  2. (和の結合律(associative law))(x+y)+z=x+(y+z)(\bm{x}+\bm{y})+\bm{z}=\bm{x}+(\bm{y}+\bm{z})
  3. (零ベクトルの存在)∃0∈V,∀x∈V,x+0=x\exists \bm{0}\in V,\forall \bm{x}\in V,\bm{x}+\bm{0}=\bm{x}
    0\bm{0}を零ベクトル(zero vector)という．
  4. (スカラー倍の結合律)k(lx)=(kl)xk(l\bm{x})=(kl)\bm{x}
  5. (分配律(distribution law))(k+l)x=kx+lx(k+l)\bm{x}=k\bm{x}+l\bm{x}
  6. (分配律)k(x+y)=kx+kyk(\bm{x}+\bm{y})=k\bm{x}+k\bm{y}
  7. 1x=x1\bm{x}=\bm{x}
  8. 0x=00\bm{x}=\bm{0}

ただし，00はKKの加法単位元，11はKKの乗法単位元である．

R\mathbb{R}は実数体であるから，定義2でK=RK=\mathbb{R}としたものが定義1のベクトル空間である．

当サイトの｢線型代数学｣カテゴリーの記事では，特に断りのない限り，R\mathbb{R}上のベクトル空間のことを単にベクトル空間と呼ぶことにする．

ベクトル空間のイメージと定義する意義

ベクトル空間の定義を直感的に捉えてみよう．

ベクトル空間は，ある条件を満たす集合のことを指している．そのため，ベクトル空間は結局のところ集合に過ぎない．

まず，ベクトル空間には和とスカラー倍という2つの演算が備わっている．ここで，スカラー倍と積を区別して考える必要がある．そもそも，演算とは写像の一種であり，一般にはある集合の元または元の組に，別の元を対応させる写像のことを指す．そして，集合VV上の和や積を考える場合，これらの演算はV×VV\times VからVVへの写像として定義する．
一方で，スカラー倍はVVとは別の集合(体)KKを用いて，K×VK\times VからVVへの写像として定義される．特に，R\mathbb{R}上のベクトル空間VVにおいて定義されるスカラー倍は，K=RK=\mathbb{R}となる．

これにより，スカラー倍には交換法則が成り立たない．スカラー倍がK×VK\times VからVVへの写像なのだから，例えばk∈Kk\in K及びx∈V\bm{x}\in Vに対し，kxk\bm{x}はx\bm{x}のkkによるスカラー倍であるが，xk\bm{x}kはスカラー倍ですらない．このような演算は定義されていない．

また，スカラーとベクトルは異なる集合の元であるから，分配律が2つ用意されている．ベクトル空間の定義には，スカラーとベクトルという2つの異なる集合の元があることに注意しよう．

ところで，なぜベクトル空間を定義するのだろうか．ベクトル空間は，集合に求める条件の数が多く，抽象的な概念である．わざわざこのような概念を定義する意義は何だろうか．

以下では，ベクトル空間の具体例をいくつか挙げていく．ここで重要なのは，次に紹介する集合は，すべてベクトル空間であるという点で共通している．つまり，ベクトル空間を定義することによって，本来異なるはずの集合を同一視することができるようになるのだ．

ベクトル空間の例

数ベクトル空間

n∈Nn\in \mathbb{N}とする．nn個のR\mathbb{R}の直積Rn\mathbb{R}^nについて考えよう．
Rn={(x1,x2,…,xn)∣x1,x2,…,xn∈R} \mathbb{R}^n=\{ (x_1,x_2,\dots ,x_n)\mid x_1,x_2,\dots ,x_n\in \mathbb{R}\}
任意の(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn)∈Rn(x_1,x_2,\dots ,x_n),(y_1,y_2,\dots ,y_n)\in \mathbb{R}^n及びk∈Rk\in \mathbb{R}に対し，Rn\mathbb{R}^n上の演算を次のように定める．
和:(x1,x2,…,xn)+(y1,y2,…,yn)=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn) 和:\qquad (x_1,x_2,\dots ,x_n)+(y_1,y_2,\dots ,y_n)=(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n)
スカラー倍:k(x1,x2,…,xn)=(kx1,kx2,…,kxn) スカラー倍:\qquad k(x_1,x_2,\dots ,x_n)=(kx_1,kx_2,\dots ,kx_n)
このとき，Rn\mathbb{R}^nはR\mathbb{R}上のベクトル空間である．

実際，零ベクトルを
0=(0,0,…,0)∈Rn \bm{0}=(0,0,\dots ,0)\in \mathbb{R}^n
とすれば，R\mathbb{R}の性質である和の交換律と結合律，積の結合律，分配律，11と00の性質を用いることで，ベクトル空間の8個の条件すべてを満たすことが確認できる．

このとき，Rn\mathbb{R}^nを数ベクトル空間(coordinate space, space of numerical vectors, numerical vector space)という．

例1

平面ベクトル全体の集合
R2={(x1,x2)∣x1,x2∈R} \mathbb{R}^2=\{ (x_1,x_2)\mid x_1,x_2\in \mathbb{R}\}
は，任意の(x1,x2),(y1,y2)∈Rn(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in \mathbb{R}^n及びk∈Rk\in \mathbb{R}に対し，次のように演算を定義すると，R\mathbb{R}上のベクトル空間である．
和:(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,x2+y2) 和:\qquad (x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)
スカラー倍:k(x1,x2)=(kx1,kx2) スカラー倍:\qquad k(x_1,x_2)=(kx_1,kx_2)
このとき，零ベクトルを次のように定める．
0=(0,0) \bm{0}=(0,0)

例2

空間ベクトル全体の集合
R2={(x1,x2,x3)∣x1,x2,x3∈R} \mathbb{R}^2=\{ (x_1,x_2,x_3)\mid x_1,x_2,x_3\in \mathbb{R}\}
は，任意の(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)∈Rn(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\in \mathbb{R}^n及びk∈Rk\in \mathbb{R}に対し，次のように演算を定義すると，R\mathbb{R}上のベクトル空間である．
和:(x1,x2,x3)+(y1,y2,y3)=(x1+y1,x2+y2,x3+y3) 和:\qquad (x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)
スカラー倍:k(x1,x2,x3)=(kx1,kx2,kx3) スカラー倍:\qquad k(x_1,x_2,x_3)=(kx_1,kx_2,kx_3)
このとき，零ベクトルを次のように定める．
0=(0,0,0) \bm{0}=(0,0,0)

行列全体の集合

m,n∈Nm,n\in \mathbb{N}とする．m×nm\times n実行列全体の集合Mm,nM_{m,n}について考えよう．
Mm,n={Amn=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn)|a11,a12,…,amn∈R} M_{m,n}=\left\{ A_{mn}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}\middle| a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn}\in \mathbb{R}\right\}
任意のAmn,Bmn∈Mm,nA_{mn},B_{mn}\in M_{m,n}及びk∈Rk\in \mathbb{R}に対し，Mm,nM_{m,n}上の演算を次のように定める．
和:Amn+Bmn=(a11+b11a12+b12⋯a1n+b1na21+b21a22+b22⋯a2n+b2n⋮⋮⋱⋮am1+bm1am2+bm2⋯amn+bmn) 和:\qquad A_{mn}+B_{mn}=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}
スカラー倍:kAmn=(ka11ka12⋯ka1nka21ka22⋯ka2n⋮⋮⋱⋮kam1kam2⋯kamn) スカラー倍:\qquad kA_{mn}=\begin{pmatrix}ka_{11}&ka_{12}&\cdots &ka_{1n}\\ ka_{21}&ka_{22}&\cdots &ka_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots &ka_{mn}\end{pmatrix}
このとき，Mm,nM_{m,n}はR\mathbb{R}上のベクトル空間である．

実際，零ベクトルを
0=(00⋯000⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯0)∈Rn \bm{0}=\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0\\ 0&0&\cdots &0\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0&0&\cdots &0\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^n
とすれば，R\mathbb{R}の性質である和の交換律と結合律，積の結合律，分配律，11と00の性質を用いることで，ベクトル空間の8個の条件すべてを満たすことが確認できる．

例3

2×22\times 2実行列全体の集合
M2,2={A22=(a11a12a21a22)|a11,a12,a21,a22∈R} M_{2,2}=\left\{ A_{22}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\middle| a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}\in \mathbb{R}\right\}
は，任意のA22,B22∈M2,2A_{22},B_{22}\in M_{2,2}及びk∈Rk\in \mathbb{R}に対し，次のように演算を定義すると，R\mathbb{R}上のベクトル空間である．
和:A22+B22=(a11+b11a12+b12a21+b21a22+b22) 和:\qquad A_{22}+B_{22}=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}
スカラー倍:kA22=(ka11,ka12ka21,ka22) スカラー倍:\qquad kA_{22}=\begin{pmatrix}ka_{11},ka_{12}\\ ka_{21},ka_{22}\end{pmatrix}
このとき，零ベクトルを次のように定める．
0=(0000) \bm{0}=\begin{pmatrix}0&0\\ 0&0\end{pmatrix}

数列全体の集合

実数列全体の集合L(R)L(\mathbb{R})について考えよう．
L(R)={{an}n=1∞∣∀n∈N,an∈R} L(\mathbb{R})=\{ \{ a_n\} _{n=1}^{\infty}\mid \forall n\in \mathbb{N},a_n\in \mathbb{R}\}
任意の{an}n=1∞,{bn}n=1∞∈L(R)\{ a_n\}_{n=1}^{\infty},\{ b_n\}_{n=1}^{\infty}\in L(\mathbb{R})及びk∈Rk\in \mathbb{R}に対し，L(R)L(\mathbb{R})上の演算を次のように定める．
和:{an}n=1∞+{bn}n=1∞={an+bn}n=1∞ 和:\qquad \{ a_n\}_{n=1}^{\infty}+\{ b_n\}_{n=1}^{\infty}=\{ a_n+b_n\}_{n=1}^{\infty}
スカラー倍:k{an}n=1∞={kan}n=1∞ スカラー倍:\qquad k\{ a_n\}_{n=1}^{\infty}=\{ ka_n\}_{n=1}^{\infty}
このとき，L(R)L(\mathbb{R})はR\mathbb{R}上のベクトル空間である．

実際，零ベクトルを
0={0}n=1∞∈L(R) \bm{0}=\{ 0\}_{n=1}^{\infty}\in L(\mathbb{R})
とすれば，R\mathbb{R}の性質である和の交換律と結合律，積の結合律，分配律，11と00の性質を用いることで，ベクトル空間の8個の条件すべてを満たすことが確認できる．

多項式全体の集合

実数係数多項式全体の集合P(R)P(\mathbb{R})について考えよう．
P(R)={a1+a2x+⋯+anxn−1∣n∈N,a1,a2,…,an∈R} P(\mathbb{R})=\{ a_1+a_2x+\dots +a_nx^{n-1}\mid n\in \mathbb{N},a_1,a_2,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\}
任意のP,Q∈P(R)P,Q\in P(\mathbb{R})及びk∈Rk\in \mathbb{R}に対し，P(R)P(\mathbb{R})上の通常の和と定数倍(スカラー倍)に対して，P(R)P(\mathbb{R})はR\mathbb{R}上のベクトル空間である．

実際，零ベクトルを
0=0∈P(R) \bm{0}=0\in P(\mathbb{R})
とすれば，R\mathbb{R}の性質である和の交換律と結合律，積の結合律，分配律，11と00の性質を用いることで，ベクトル空間の8個の条件すべてを満たすことが確認できる．

関数全体の集合

x∈Rx\in \mathbb{R}とする．実関数全体の集合FFについて考えよう．
F={f∣f:R→R} F=\{ f\mid f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\}
任意のf,g∈Ff,g\in F及びk∈Rk\in \mathbb{R}に対し，FF上の演算を次のように定める．
和:(f+g)(x)=f(x)+g(x) 和:\qquad (f+g)(x)=f(x)+g(x)
スカラー倍:(kf)(x)=kf(x) スカラー倍:\qquad (kf)(x)=kf(x)
このとき，Rn\mathbb{R}^nはR\mathbb{R}上のベクトル空間である．

実際，零ベクトル0∈F\bm{0}\in Fを
0(x)=0(x∈R) \bm{0}(x)=0\qquad (x\in \mathbb{R})
とすれば，R\mathbb{R}の性質である和の交換律と結合律，積の結合律，分配律，11と00の性質を用いることで，ベクトル空間の8個の条件すべてを満たすことが確認できる．

零空間

集合{0}\{ \bm{0}\}について考えよう．和を
0+0=0 \bm{0}+\bm{0}=\bm{0}
任意のk∈Rk\in \mathbb{R}に対し，スカラー倍を
k0=0 k\bm{0}=\bm{0}
により定めると，{0}\{ \bm{0}\}は0\bm{0}を零ベクトルとするR\mathbb{R}上のベクトル空間であり，これを零空間(null space)という．

ベクトル空間の性質

零ベクトルの一意性

ベクトル空間には，零ベクトルは1つしか存在しない．

命題1

任意のベクトル空間に対し，零ベクトルは一意に存在する．

VVをベクトル空間，0,0′\bm{0},\bm{0}^{\prime}をVVの零ベクトルとすると，定義より
0=0+0′=0′ \bm{0}=\bm{0}+\bm{0}^{\prime}=\bm{0}^{\prime}
よって，示された．■\blacksquare

逆ベクトルの存在と一意性

まず，ベクトル空間の任意の元には逆ベクトルが存在することを示しておく．

命題2

VVをベクトル空間とする．任意のx∈V\bm{x}\in Vに対し，あるy∈V\bm{y}\in Vが存在し
x+y=0 \bm{x}+\bm{y}=\bm{0}
が成り立つ．このとき，y\bm{y}をx\bm{x}の逆ベクトル(inverse vector)という．

任意のx∈V\bm{x}\in Vに対し
x+(−1)x=(1+(−1))x=0x=0 \bm{x}+(-1)\bm{x}=(1+(-1))\bm{x}=0\bm{x}=\bm{0}
であるから，例えばy=(−1)x\bm{y}=(-1)\bm{x}とすればよい．■\blacksquare

そして，任意のベクトルに対し，逆ベクトルはただ1つしか存在しない．

命題3

任意のベクトルに対し，逆ベクトルは一意に存在する．

VVをベクトル空間，x∈V\bm{x}\in Vとし，y,z∈V\bm{y},\bm{z}\in Vをx\bm{x}の逆元とする．
y=y+0=y+(x+z)=(y+x)+z=0+z=z \bm{y}=\bm{y}+\bm{0}=\bm{y}+(\bm{x}+\bm{z})=(\bm{y}+\bm{x})+\bm{z}=\bm{0}+\bm{z}=\bm{z}
よって，示された．■\blacksquare

命題2および命題3より，任意のベクトルに対して逆ベクトルがただ1つ存在することが分かった．

VVをベクトル空間とすると，任意のx∈V\bm{x}\in Vに対し，x\bm{x}の逆ベクトルは(−1)x(-1)\bm{x}のみであり，これを−x-\bm{x}で表す．

部分空間

定義3

KKを体とし，VVをKK上のベクトル空間，W⊂VW\subset Vとする．VV上の和とスカラー倍について，WWがKK上のベクトル空間であるとき，WWをVVの部分空間(または部分ベクトル空間)(vector subspace)(または部分線形空間(linear subspace))という．

定理1

KKを体とし，VVをKK上のベクトル空間，W⊂VW\subset Vとする．VV上の和とスカラー倍について
∀x,y∈W,x+y∈W \forall \bm{x},\bm{y}\in W,\bm{x}+\bm{y}\in W
∀k∈K,∀x∈W,kx∈W \forall k\in K,\forall \bm{x}\in W,k\bm{x}\in W
が成り立つとき，WWはVVの部分空間である．

任意のx,y,z∈W\bm{x},\bm{y},\bm{z}\in W及びk,l∈Kk,l\in Kに対し，W⊂VW\subset Vであるから，x,y,z∈V\bm{x},\bm{y},\bm{z}\in V
VVはベクトル空間であるから，和の交換律
x+y=y+x \bm{x}+\bm{y}=\bm{y}+\bm{x}
和の結合律
(x+y)+z=x+(y+z) (\bm{x}+\bm{y})+\bm{z}=\bm{x}+(\bm{y}+\bm{z})
が成り立つ．
また，KKは体であるから，KKの加法単位元を00，乗法単位元を11とすると
1x=x 1\bm{x}=\bm{x}
0x=0∈W 0\bm{x}=\bm{0}\in W
よって，0∈W\bm{0}\in Wであり
x+0=x \bm{x}+\bm{0}=\bm{x}
となる．
さらに，スカラー倍の結合律や分配律
k(lx)=(kl)x k(l\bm{x})=(kl)\bm{x}
(k+l)x=kx+lx (k+l)\bm{x}=k\bm{x}+l\bm{x}
k(x+y)=kx+ky k(\bm{x}+\bm{y})=k\bm{x}+k\bm{y}
についても成り立つから，定義2よりWWはVV上の演算に関するベクトル空間，特にVVの部分空間である．■\blacksquare

部分空間の例

連続関数全体の集合

x∈Rx\in \mathbb{R}とする．ベクトル空間の例として，実関数全体の集合FFを考えた．任意のf,g∈Ff,g\in F及びk∈Rk\in \mathbb{R}に対して，FF上の演算を次のように定めると，FFはR\mathbb{R}上のベクトル空間であった．
和:(f+g)(x)=f(x)+g(x) 和:\qquad (f+g)(x)=f(x)+g(x)
スカラー倍:(kf)(x)=kf(x) スカラー倍:\qquad (kf)(x)=kf(x)

実連続関数全体の集合CCについて考えよう．
C={f∣f:R→R∧∀a∈R,lim⁡x→af(x)=f(a)} C=\{ f\mid f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\land \forall a\in \mathbb{R},\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\}
任意のf,g∈Cf,g\in C及びk∈Rk\in \mathbb{R}に対して，FF上の演算を考えると，f+gf+g及びkfkfはともに連続関数であるから，f+g,kf∈Cf+g,kf\in Cである．よって，定理1より，CCはFFの部分空間である．

解空間

m,n∈Nm,n\in \mathbb{N}とする．ベクトル空間の例として，m×nm\times n行列全体の集合Mm,nM_{m,n}を考えた．任意のA,B∈Mm,nA,B\in M_{m,n}及びk∈Rk\in \mathbb{R}に対して，Mm,nM_{m,n}上の演算を次のように定めると，Mm,nM_{m,n}はR\mathbb{R}上のベクトル空間であった．
和:Amn+Bmn=(a11+b11a12+b12⋯a1n+b1na21+b21a22+b22⋯a2n+b2n⋮⋮⋱⋮am1+bm1am2+bm2⋯amn+bmn) 和:\qquad A_{mn}+B_{mn}=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}
スカラー倍:kAmn=(ka11ka12⋯ka1nka21ka22⋯ka2n⋮⋮⋱⋮kam1kam2⋯kamn) スカラー倍:\qquad kA_{mn}=\begin{pmatrix}ka_{11}&ka_{12}&\cdots &ka_{1n}\\ ka_{21}&ka_{22}&\cdots &ka_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots &ka_{mn}\end{pmatrix}

A∈Mm,nA\in M_{m,n}に対して，Ax=0A\bm{x}=\bm{0}の解x∈M1,m\bm{x}\in M_{1,m}全体の集合SSについて考えよう．
S={x∈M1,m∣Ax=0} S=\{ \bm{x}\in M_{1,m}\mid A\bm{x}=\bm{0}\}
任意のx,y∈S\bm{x},\bm{y}\in S及びk∈Rk\in \mathbb{R}に対して，M1,mM{1,m}上の演算を考えると，x+y\bm{x}+\bm{y}及びkxk\bm{x}はともにAx=0A\bm{x}=\bm{0}の解であるから，x+y,kx∈S\bm{x}+\bm{y},k\bm{x}\in Sである．よって，定理1より，SSはM1,mM_{1,m}の部分空間である．

特に，SSはAx=0A\bm{x}=\bm{0}の解空間(solution space)という．

参考文献

この記事を含め，｢線形代数学｣のカテゴリーに属する記事は，以下の書籍･PDFファイル･Webサイトを参考文献としています(それぞれの記事について，以下に掲載していない参考文献がある場合は，逐一掲載しています)．

書籍

  1. 佐武一郎, 『線型代数学』, 数学選書1, 新装版, 裳華房, 2015年.
  2. 齋藤正彦, 『線型代数入門』, 基礎数学1, 東京大学出版会, 1966年.
  3. 齋藤正彦, 『線型代数演習』, 基礎数学4, 東京大学出版会, 1985年.
  4. 藤岡敦, 『手を動かしてまなぶ 線形代数』, 裳華房, 2015年.
  5. 藤岡敦, 『手を動かしてまなぶ 続･線形代数』, 裳華房, 2021年.
  6. 志賀浩二, 『線形代数30講』, 数学30講シリーズ2, 朝倉書店, 1988年.
  7. 志賀浩二, 『固有値問題30講』, 数学30講シリーズ10, 新装改版, 朝倉書店, 2024年.
  8. 齋藤正彦, 『齋藤正彦 線型代数学』, 東京図書, 2014年.
  9. 加藤文元, 『大学教養 線形代数』, 数研講座シリーズ, 数研出版, 2020年.
  10. 『大学教養 線形代数』, 加藤文元(監修), 数研出版編集部(編著), チャート式シリーズ, 数研出版, 2020年.
  11. 小平平治, 『明解演習 線形代数』, 明解演習シリーズ1, 共立出版, 1982年.
補足

6は2024年9月20日に新装改版が発売されました．
志賀浩二, 『線形代数30講』, 数学30講シリーズ2, 新装改版, 朝倉書店, 2024年.

PDFファイル

  1. 神戸大学 数学教育部会, ｢線形代数1 自習用講義ノート｣, https://www.edu.kobe-u.ac.jp/iphe-math/jisyu/jisyu_linear_albebra-1.pdf.
  2. 神戸大学 数学教育部会, ｢線形代数2 自習用講義ノート｣, https://www.edu.kobe-u.ac.jp/iphe-math/jisyu/jisyu_linear_albebra-2.pdf.
  3. 黒田紘敏, ｢線形代数学入門｣, 2024年, https://www7b.biglobe.ne.jp/~h-kuroda/pdf/text_linear_algebra.pdf.
  4. 富谷昭夫, ｢線形代数学I｣, 2024年, https://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~akio.tomiya/tonjo_pdf/linear_algebra2024_v3_note.pdf.
  5. 福井敏純, ｢線形代数学講義ノート｣, 2023年, https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/Linear_algebra.pdf.
  6. 嶺幸太郎, ｢線形代数学 講義ノート｣, 2022年, http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/linear_alg/linear_alg_2022_04_04.pdf.
  7. 桂田祐史, ｢線形代数ノート｣, 2021年, http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/note/linear-algebra.pdf.
  8. 加塩朋和, ｢線形代数学1 (及び演習)｣, 2017年, https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2014-2017_Linear_Algebra.pdf.
  9. 佐藤篤, ｢線型代数学入門｣, 2017年, https://www.ipc.tohoku-gakuin.ac.jp/atsushi/article/lin_alg.pdf.
  10. 木上淳, ｢線形代数学｣, 2015年, https://www-an.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~kigami/linearBnote26.pdf.
  11. 原隆, ｢線型代数･同演習A 講義ノート｣, 2013年, https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/13/la01a.pdf.
  12. 原隆, ｢線型代数･同演習B 講義ノート｣, 2013年, https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/13/la01b.pdf.
  13. 鈴木博, ｢第3章 線形代数｣, 2008年, https://icu-hsuzuki.github.io/science/class/ns1b/lecnote/2008/3.linearalgebra.pdf.

Webサイト

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