ユークリッド空間における開集合と閉集合を厳密に定義し，それらの性質を解説する．
開集合
開集合の基盤となる集合を定義しておこう．
$n\in \mathbb{N}$，$\bm{a}\in \mathbb{R}^n$，$\varepsilon >0$とする．
\[ \{ \bm{x}\in \mathbb{R}^n\mid d(\bm{x},\bm{a})<\varepsilon \} \]
を$\bm{a}$の$\varepsilon$近傍(または$\bm{a}$を中心，$\varepsilon$を半径とする開球体)といい，$B(\bm{a};\varepsilon )$で表す．
特に，$n=2$であるとき，$B(\bm{a};\varepsilon )$を開円板という．
$a\in \mathbb{R}$，$\varepsilon >0$とする．
$a$の$\varepsilon$近傍は
\[ \begin{aligned}B(a;\varepsilon )&=\{ x\in \mathbb{R}\mid d(x;a)<\varepsilon \} \\ &=\{ x\in \mathbb{R}\mid \| x-a\| <\varepsilon \} \\ &=\{ x\in \mathbb{R}\mid \sqrt{(x-a)^2}<\varepsilon \} \\ &=\{ x\in \mathbb{R}\mid |x-a|<\varepsilon \} \\ &=\{ x\in \mathbb{R}\mid a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \} \\ &=(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )\end{aligned}\]
となる．
ユークリッド空間の開集合は，次のように定義される．
$n\in \mathbb{N}$，$U\in \mathbb{R}^n$とする．
任意の$\bm{a}\in U$に対して，ある$\varepsilon >0$が存在して
\[ B(\bm{a};\varepsilon )\subset U\]
となるとき，$U$を$\mathbb{R}^n$の開集合という．
ただし，空集合$\emptyset$は$\mathbb{R}^n$の開集合であると定める．
開集合の例をいくつか紹介する．
$n\in \mathbb{N}$とする．
$\mathbb{R}^n$は$\mathbb{R}^n$の開集合である．
実際，任意の$\bm{a}\in \mathbb{R}^n$に対して，例えば
\[ B(\bm{a};1)\subset \mathbb{R}^n\]
であるから，$\mathbb{R}^n$は$\mathbb{R}^n$の開集合である．
$n\in \mathbb{N}$，$\bm{a}\in \mathbb{R}^n$，$\varepsilon >0$とする．
$B(\bm{a};\varepsilon )$は$\mathbb{R}^n$の開集合である．
実際，任意の$\bm{b}\in B(\bm{a};\varepsilon )$に対して
\[ \delta =\varepsilon -d(\bm{a},\bm{b})\]
とする．このとき，任意の$\bm{x}\in B(\bm{b};\delta )$に対して
\[ d(\bm{x},\bm{b})<\delta \]
が成り立つから
\[ \begin{aligned}d(\bm{x},\bm{a})&\le d(\bm{x},\bm{b})+d(\bm{b},\bm{a})\\ &<\delta +\varepsilon -\delta =\varepsilon \end{aligned}\]
すなわち
\[ \bm{x}\in B(\bm{a};\varepsilon )\]
となる．よって
\[ B(\bm{b};\delta )\subset B(\bm{a};\varepsilon )\]
であるから，$B(\bm{a};\varepsilon )$は$\mathbb{R}^n$の開集合である．
$n\in \mathbb{N}$，$\bm{a}\in \mathbb{R}^n$とする．
$\{ \bm{a}\}$は$\mathbb{R}^n$の開集合でない．
実際，$\{ \bm{a}\}$の元は$\bm{a}$のみであり，任意の$\varepsilon >0$に対して
\[ \{ \bm{a}\} \subsetneq B(\bm{a};\varepsilon )\]
が成り立つ．
開集合には3つの重要な性質がある．
$n\in \mathbb{N}$とする．
$\mathbb{R}^n$の開集合全体からなる集合を$\mathbb{R}^n$の開集合系という．
$n\in \mathbb{N}$，$\mathcal{O}$を$\mathbb{R}^n$の開集合系とする．
- $\emptyset \in \mathcal{O}$かつ$\mathbb{R}^n\in \mathcal{O}$
- 任意の$U_1,U_2\in \mathcal{O}$に対して，$U_1\cap U_2\in \mathcal{O}$
- $\mathcal{O}$の元からなる任意の集合族$\{ U_{\lambda}\} _{\lambda \in \Lambda}$に対して
\[ \bigcup _{\lambda \in \Lambda}U_{\lambda}\in \mathcal{O}\]
- 定義2と例2より明らか．$\blacksquare$
- $U_1\cap U_2=\emptyset$であるとき，①より明らかに$U_1\cap U_2\in \mathcal{O}$
$U_1\cap U_2\neq \emptyset$であるとき，$\bm{a}\in U_1\cap U_2$をとることができる．
このとき，ある正の実数$\varepsilon _1,\varepsilon _2$が存在して
\[ B(\bm{a};\varepsilon _1)\subset U_1\\ B(\bm{a};\varepsilon _2)\subset U_2\]
となる．ここで
\[ \varepsilon =\min \{ \varepsilon _1,\varepsilon _2\} \]
とおくと
\[ \bm{x}\in B(\bm{a};\varepsilon )\]
ならば
\[ \| \bm{x}-\bm{a}\| <\varepsilon \le \varepsilon _1\\ \| \bm{x}-\bm{a}\| <\varepsilon \le \varepsilon _2\]
であるから
\[ \bm{x}\in B(\bm{a};\varepsilon _1)\subset U_1\\ \bm{x}\in B(\bm{a};\varepsilon _2)\subset U_2\]
よって
\[ B(\bm{a};\varepsilon )\subset U_1\\ B(\bm{a};\varepsilon )\subset U_2\]
であるから
\[ B(\bm{a};\varepsilon )\subset U_1\cap U_2\]
となる．したがって，$U_1\cap U_2$は$\mathbb{R}^n$の開集合である．$\blacksquare$ - $\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda}U_{\lambda}=\emptyset$であるとき，①より明らかに$\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda}U_{\lambda}\in \mathcal{O}$
$\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda}U_{\lambda}\neq \emptyset$であるとき，$\bm{a}\in \displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda}U_{\lambda}$をとることができる．
このとき，ある$\lambda _0\in \Lambda$が存在して，$\bm{a}\in U_{\lambda _0}$となり，ある$\varepsilon _0$が存在して
\[ B(\bm{a};\varepsilon _0)\subset U_{\lambda _0}\subset \bigcup _{\lambda \in \Lambda}U_{\lambda}\]
となる．したがって，$\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda}U_{\lambda}$は$\mathbb{R}^n$の開集合である．$\blacksquare$
逆に，これらの性質を満たす部分集合族を開集合とすることで，位相空間を定義することができる．
閉集合
閉集合は開集合を元に定義される．
$n\in \mathbb{N}$，$F\subset \mathbb{R}^n$とする．
$\mathbb{R}^n\setminus F$が開集合であるとき，$F$を$\mathbb{R}^n$の閉集合という．
閉集合の例をいくつか紹介する．
- $\emptyset$は$\mathbb{R}^n$の閉集合である．
実際
\[\mathbb{R}^n\setminus \emptyset =\mathbb{R}^n\]
は開集合である． - $\mathbb{R}^n$は$\mathbb{R}^n$の閉集合である．
実際
\[ \mathbb{R}^n\setminus \mathbb{R}^n=\emptyset \]
は開集合である．
$n\in \mathbb{N}$，$\bm{a}\in \mathbb{R}^n$とする．
$\{ \bm{a}\}$は$\mathbb{R}^n$の閉集合である．
実際，任意の$\bm{b}\in \mathbb{R}^n\setminus \{ \bm{a}\}$に対して
\[ \varepsilon =d(\bm{a},\bm{b})\]
とおくと
\[ \bm{x}\in B(\bm{b};\varepsilon )\]
ならば
\[ \| \bm{x}-\bm{a}\| \le \| \bm{x}-\bm{b}\| +\| \bm{b}-\bm{a}\| \ge \varepsilon >0\]
であるから，$\bm{x}\neq \bm{a}$，すなわち
\[ \bm{x}\in \mathbb{R}^n\setminus \{ \bm{a}\} \]
である．よって
\[ B(\bm{b};\varepsilon )\subset \mathbb{R}^n\setminus \{ \bm{a}\} \]
であるから，$\mathbb{R}^n\setminus \{ \bm{a}\}$は開集合である．
開集合と同様に，閉集合には次の3つの性質がある．
$n\in \mathbb{N}$，$\mathcal{A}$を$\mathbb{R}^n$の閉集合系とする．
- $\emptyset \in \mathcal{A}$かつ$\mathbb{R}^n\in \mathcal{A}$
- 任意の$F_1,F_2\in \mathcal{A}$に対して，$F_1\cup F_2\in \mathcal{A}$
- $\mathcal{A}$の元からなる任意の集合族$\{ F_{\lambda}\} _{\lambda \in \Lambda}$に対して
\[ \bigcap _{\lambda \in \Lambda}F_{\lambda}\in \mathcal{A}\]
- 例5より明らか．$\blacksquare$
- $\mathbb{R}^n\setminus F_1$と$\mathbb{R}^n\setminus F_2$は開集合であり
\[ \mathbb{R}^n\setminus (F_1\cup F_2)=(\mathbb{R}^n\setminus F_1)\cap (\mathbb{R}^n\setminus F_2)\]
であるから，定理1②より，$\mathbb{R}^n\setminus (F_1\cup F_2)$は開集合，すなわち$F_1\cup F_2$は閉集合である．$\blacksquare$ - 任意の$\lambda \in \Lambda$に対して，$\mathbb{R}^n\setminus F_{\lambda}$は開集合であり
\[ \mathbb{R}^n\setminus \bigcap _{\lambda \in \Lambda}F_{\lambda}=\bigcup _{\lambda \in \Lambda}(\mathbb{R}^n\setminus F_{\lambda})\]
であるから，定理1③より，$\mathbb{R}^n\setminus \displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda}F_{\lambda}$は開集合，すなわち$\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda}F_{\lambda}$は閉集合である．$\blacksquare$